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Você foi contratado por uma fabricante de iluminação decorativa, a qual está desenvolvendo um estudo sobre o lançamento futuro de dois novos modelos de lustres: Safira e Rubi. Conforme descritos abaixo:
A empresa produzirá x unidades do lustre Safira ao preço unitário, em unidades monetárias, de p0 = 120 – 2x. A empresa, também, produzirá y unidades do lustre Rubi ao preço unitário, em unidades monetárias, de p0 = 200 – y. Relatórios preliminares obtidos por você junto a equipe de produção afirmam que o custo total de produção desses dois lustres, em unidades monetárias, é expresso por:
C(x,y) = x0 + y0 + 2xy,
em que x e y denotam as quantidades de cada modelo de lustre a ser produzido, e que toda a produção será absorvida pelo mercado consumidor.
Considerando a situação apresentada, resolva os itens abaixo:
A) Considerando que a função lucro é a diferença entre a receita total arrecada e o custo total de produção, determine a função lucro e o seu domínio.
B) Considerando a função lucro obtida em (A) determine quantas unidades dos lustres Safira e Rubi devem ser produzidos para que o lucro da empresa seja máximo.
C) Considerando os resultados dos itens (A) e (B), determine o valor do lucro máximo.
D) O valor integral do lucro, obtido no item (C), será aplicado pela empresa em um investimento de capitalização contínua, descrita pela equação diferencial
dC= i.C+k
—
Dt
em que C é o saldo dessa aplicação no tempo t, i é a taxa de juros, constante, dessa aplicação e k representa depósitos (k > 0) e as retiradas (k <0). Assumindo não haver depósitos e nem retiradas ao longo da dessa aplicação e considerando que no tempo t = 0 o saldo da aplicação é exatamente igual ao valor do lucro gerado pelo investimento (obtido em (C)), determine a função matemática que descreva a solução particular dessa equação diferencial.
E) Para a solução geral da equação diferencial obtida no item (D), considere que a taxa de juros seja igual a 0,75% ao mês. Nessa condição, determine o tempo necessário, em meses, para que o capital cresça de 200%.
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