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Sagot :
Uma função f(x) é contínua no ponto c se existe o [tex] \lim_{x \to c} f(x)[/tex] e [tex] \lim_{x \to c} f(x) = f(c)[/tex].
a) [tex]f(x)[/tex] = [tex]\frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex], com c=0
Calculamos f(0):
[tex]f(0)[/tex] = [tex]\frac{0^{2}-0-2}{0-2}[/tex]
[tex]f(0)[/tex] = [tex]\frac{-2}{-2}[/tex]
[tex]f(0)[/tex] = [tex]1[/tex]
Calculamos o limite:
[tex]L[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex]
[tex]L[/tex] = [tex]\frac{0^{2}-0-2}{0-2}[/tex]
Note que a partir daqui, o processo é idêntico ao usado para f(0), e resultará em 1. Com isso, provamos que existe o limite, e que o limite com x->0 é igual a f(0).
Portanto, a função é contínua no ponto x=0.
b) [tex]f(x)[/tex] = [tex]\frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex], com c=2
Resolvemos f(2):
[tex]f(2)[/tex] = [tex]\frac{2^{2}-2-2}{2-2}[/tex]
[tex]f(2)[/tex] = [tex]\frac{0}{0}[/tex]
indeterminação.
Não é sequer necessário calcular o limite, já que não existe f(2). Logo, a função não é contínua no ponto x=2.
a) [tex]f(x)[/tex] = [tex]\frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex], com c=0
Calculamos f(0):
[tex]f(0)[/tex] = [tex]\frac{0^{2}-0-2}{0-2}[/tex]
[tex]f(0)[/tex] = [tex]\frac{-2}{-2}[/tex]
[tex]f(0)[/tex] = [tex]1[/tex]
Calculamos o limite:
[tex]L[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex]
[tex]L[/tex] = [tex]\frac{0^{2}-0-2}{0-2}[/tex]
Note que a partir daqui, o processo é idêntico ao usado para f(0), e resultará em 1. Com isso, provamos que existe o limite, e que o limite com x->0 é igual a f(0).
Portanto, a função é contínua no ponto x=0.
b) [tex]f(x)[/tex] = [tex]\frac{x^{2}-x-2}{x-2}[/tex], com c=2
Resolvemos f(2):
[tex]f(2)[/tex] = [tex]\frac{2^{2}-2-2}{2-2}[/tex]
[tex]f(2)[/tex] = [tex]\frac{0}{0}[/tex]
indeterminação.
Não é sequer necessário calcular o limite, já que não existe f(2). Logo, a função não é contínua no ponto x=2.
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