✅ Após realizar os cálculos concluímos que os vetores fornecidos no espaço tridimensional, de fato, são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Coplanares\:\:\:}} \end{gathered}$}[/tex]
Sejam os vetores:
[tex]\Large\begin{cases}\vec{u} = (3, -1, 2)\\\vec{v} = (1, 0, 3)\\\vec{w} = (-2, 1, 1) \end{cases}[/tex]
Se:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}, \vec{v} \:e\:\vec{w}\in \mathbb{R}^{3} \end{gathered}$}[/tex]
Então, dizemos que estes três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles for igual à "0", ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = 0 \end{gathered}$}[/tex]
Calculando o produto misto, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}3 & -1 & 2\\1 & 0 & 3\\-2 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix}3 & -1\\1 & 0\\-2 & 1 \end{matrix}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 3\cdot0\cdot1 + (-1)\cdot3\cdot(-2) + 2\cdot1\cdot1 - (-1)\cdot1\cdot1 - 3\cdot3\cdot1 - 2\cdot0\cdot(-2) \end{gathered}$}[/tex][tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 0 + 6 +2 + 1 - 9 - 0 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 0 \end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = 0 \end{gathered}$}[/tex]
✅ Como o resultado do produto misto foi "0", então os vetores são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}Coplanares \end{gathered}$}[/tex]
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