O primeiro de tudo é sumir com esta raíz. Isto já facilita 100% nosso cálculo. Como fazemos para anular uma raiz? Basta elevar o termo ao quadrado. Porém, se elevarmos somente um lado da equação, isso comprometerá a igualdade da equação. Por isso, elevamos os dois lados ao quadrado.
[tex]x-2 = \sqrt{2x-1}
\\\\
(x-2)^{2} = (\sqrt{2x-1})^{2}
\\\\
anula \ a \ raiz
\\\\
(x-2)^{2} = 2x-1
\\\\
distribuindo \ os \ quadrados
\\\\
x^{2}-4x+4 = 2x-1
\\\\
x^{2}-4x-2x+4+1 = 0
\\\\
x^{2}-6x+5=0[/tex]
Caímos numa equação de segundo grau, que basta resolvermos por Bhaskara:
[tex]x^{2}-6x+5=0
\\\\
\Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c
\\\\
\Delta = (-6)^{2}-4 \cdot (1) \cdot (5)
\\\\
\Delta = 36-20
\\\\
\Delta = 16[/tex]
[tex]x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\\\\
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}
\\\\
x = \frac{6 \pm 4}{2}
\\\\\\
\Rightarrow x' = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = \boxed{5}
\\\\
\Rightarrow x'' = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = \boxed{1}[/tex]
Porém, temos que provar os resultados, testando-os:
[tex]\rightarrow x = 1
\\\\
x-2 = \sqrt{2x-1}
\\
1-2 = \sqrt{2 \cdot (1)-1}
\\
-1 = \sqrt{2-1}
\\
-1 = \sqrt{1}
\\
-1 \neq 1
\\\\\\
\rightarrow x = 5
\\\\
x-2 = \sqrt{2x-1}
\\
5-2 = \sqrt{2 \cdot (5)-1}
\\
3 = \sqrt{9}
\\
3=3
[/tex]
Portanto, a única solução é o 5.
[tex]\boxed{\boxed{S = \{5\}}}[/tex]
