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Sejam A,B e C conjuntos.Prove que A intersecção com B união C =A intersecção com B união A intersecção com C
[tex]\text{Seja }x \in A \bigcap (B \bigcup C) \\\\ \Rightarrow x \in A\ e\ (x\in B\ ou\ x\in C) \\\\ \Rightarrow \text{Temos 2 possibilidades equivalentes:}\begin{cases} x\in A\ e\ x\in B\text{, ou}\\x\in A\ e\ x\in C\end{cases} \\\\ \Rightarrow (x \in A\ e\ x\in B)\ ou\ (x \in A\ e\ x\in C) \\\\ \Rightarrow (x \in A \bigcap B)\ ou\ (x \in A\bigcap C) \\\\ \Rightarrow x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C)[/tex]
[tex]\text{Seja }x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \\\\ \Rightarrow (x \in A\ e\ x\in B)\ ou\ (x \in A\ e\ x\in C) \\\\ \Rightarrow \text{Temos 2 possibilidades equivalentes:}\\\\\begin{cases} se\ x\in A\ e\ x\in B\Rightarrow x \in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \\se\ x\in A\ e\ x\in C\Rightarrow x \in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \end{cases} \\\\ \Rightarrow \text{em ambas as possibilidades, temos como resultado: }\\x\in A\ e\ x\in (B\bigcup C) \\\\ \Rightarrow x \in A \bigcap (B \bigcup C)[/tex]
[tex]\therefore \text{Como }\forall x \in A \bigcap (B \bigcup C) \Rightarrow x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C)\text{ e }\\\\ \forall x \in (A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C) \Rightarrow x \in A \bigcap (B \bigcup C), \\\\ \text{temos que: }A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A\bigcap C)[/tex]
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