a)
Observe que o quadrilátero ABCF é formado por 3 triângulos equiláteros de lado=2 cm
A fórmula de cálculo da área de um triângulo equilátero de lado l é dada por:
[tex]\boxed{A=\frac{l^2\sqrt3}{4}}[/tex]
Neste caso a área dos 3 triângulos equiláteros unidos será:
[tex]\boxed{A_T=4.\frac{l^2\sqrt3}{4}=l^2\sqrt3} \\
\\
\boxed{A_T=2^2\sqrt3=4\sqrt3 \ cm^2}[/tex]
b) Para o cálculo do perímetro será necessário acompanhar a explicação pela figura anexada:
Mas o certo é que o perímetro é obtido por:
P=MD + DE + EF + FM
Destes segmentos conhecemos:
MD = 1 (metade do lado)
DE = EF= 2 (lado)
Fica faltando por enquanto FM
Para calcular FM vamos obter os triângulos (Vide figura):
FHI e HIC, ambos retângulos (Observe que a medida que procuramos é, na figura anexa, FG=FH
No triângulo HIC sabemos: HC=2 e ângulo C=60 graus.
Podemos calcular HI e IC pelo seno e cosseno de 60:
[tex]\boxed{sen(60^o)=\frac{HI}{2}\rightarrow HI=2.\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3cm} \\
\\
\boxed{cos(60^o)=\frac{IC}{2}\rightarrow IC=2.\frac{1}{2}=1cm}[/tex]
No triângulo FHI temos:
HI=raiz de 3
FI=FC-IC=4-1=3
Então, aplicando o teorema de Pitágoras podemos encontrar FG=FH
[tex](FG)^2=(HI)^2+(FI)^2 \\
(FG)^2=(\sqrt3)^2+3^3 \\
(FG)^2=3+9=12 \\
\boxed{FG=\sqrt{12}=2\sqrt3 \ cm}[/tex]
Finalmente podemos calcular o perímetro:
P=MD + DE + EF + FM
[tex]P= 1 + 2 + 2 + 2\sqrt3 \\
\boxed{P=5+2\sqrt3 \ cm}[/tex]
