Resposta:
Utilizar pricipio da indução infinita (PIF)
Explicação passo-a-passo:
Para n=1
[tex]a_1=\frac{4^1 -1}{3}=1[/tex]
α₁ é inteiro e ímpar.
Hipótese: [tex]a_k=\frac{4^k-1}{3}=2 \cdot p+1[/tex] com [tex]p\in \mathbb{Z}[/tex]
Tese: [tex]a_{k+1}=\frac{4^{k+1}-1}{3}[/tex] é inteiro e ímpar [tex]\forall \ k \in \mathbb{N}^*[/tex]
[tex]a_{k+1}=\frac{4^{k+1}-1}{3}=\frac{4^k \cdot 4-1}{3}=\frac{4^k\cdot4}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4^k\cdot4}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{3}\right)=\frac{4^k\cdot4}{3}-\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4^k\cdot 4-4}{3}+1=\frac{4 \cdot \left(4^k-1\right)}{3}+1=4 \cdot \left(2 \cdot p+1\right)+1[/tex]
Como [tex]p\in \mathbb{Z}, a_{k+1}[/tex] é sempre inteiro e ímpar.
