LOGARITMOS
Equação Logarítmica 2° tipo
[tex]Log _{2}( x^{2} -2x-7)-Log _{2}(x-1)=2 [/tex]
Inicialmente vamos impor a condição de existência, veja:
x²+2x-7>0 e x-1>0
como as bases são iguais, vamos aplicar a p2 (propriedade do quociente):
[tex]Log _{2} \frac{( x^{2} +2x-7)}{(x-1)}=2 [/tex]
Agora vamos aplicar a definição de Logaritmos:
[tex] \frac{ (x^{2}+2x-7) }{(x-1)}=2 ^{2} [/tex]
[tex] \frac{( x^{2} +2x-7)}{(x-1)}=4 [/tex]
Transferindo o denominador da fração algébrica, como multiplicador no 2° membro da equação, temos:
[tex] x^{2} +2x-7=4(x-1)[/tex]
[tex] x^{2} +2x-7=4x-4[/tex]
[tex] x^{2} +2x-7-4x+4=0[/tex]
[tex] x^{2} -2x-3=0[/tex]
Resolvendo a equação do 2° grau, obtemos as raízes, x'=3 e x"= -1
Verificando na C.E., temos:
para x=3:
x²+2x-7>0 .:. 3²+2*3-7>0 .:. 9+6-7>0 .:. 15-7>0 .:. 8>0 (verdadeiro)
x-1>0 .:. 3-1>0 .:. 2>0 (verdadeiro)
para x= -1
x²+2x-7>0.;. (-1)²+2*(-1)-7>0 .:. 1-2-7>0 .:. -10>0 (falso)
x-1>0 .:. -1-1>0 .:. -2>0 (falso)
Portanto:
Solução: { 3 }
