O primeiro objeto tem a equação horária
[tex]H =\dfrac{gt^2}{2}[/tex] (queda livre)
4 segundos depois terá percorrido:
[tex]h = \dfrac{10\times4^2}{2} [/tex]
[tex]h = 80 m[/tex]
Então a altura do primeiro objeto quando o segundo objeto foi lançado é
[tex]h_0 = H - 80[/tex]
e sua velocidade:
[tex]v = v_0 - gt[/tex]
[tex]v=0-10\times4[/tex]
[tex]v = - 40 m/s[/tex]
Esta será a altura (incial) do primeiro objeto quando o segundo objeto é lançado, assim
[tex]h_1 = h_0 + v_0 t' - \frac{gt'^2}{2}[/tex]
[tex]h_1 = (H - 80) - 40 t' - \frac{10t'^2}{2} [/tex]
[tex]h_1 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2[/tex]
O tempo que leva para tocar o solo, h1 = 0m, é
[tex]0 = (H - 80) - 40 t' - 5 t'^2[/tex]
[tex]0 = (16 - \frac{H}{5}) + 8 t' + t'^2[/tex]
aonde dividimos por -5
As raízes serão
[tex]t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^8-4(16-\frac{H}{5})}}{2}[/tex]
[tex]t' = \dfrac{-8\pm\sqrt{64-64+\frac{4H}{5}}}{2}[/tex]
[tex]t' = \dfrac{-8\pm \sqrt{\frac{4H}{5}}}{2}[/tex]
[tex]t' = -8\pm\sqrt{\frac{H}{5}}[/tex]
Lembre-se que o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
[tex]t' = -4 + \sqrt{\frac{4}{5}[/tex]
Para o segundo objeto foi dado que
[tex]v_2 = - 80 m/s[/tex]
Assim
[tex]h_2 = h_{0'} + v_{0'} t' - \frac{gt'^2}{2}[/tex]
aonde [tex]h_{0'}[/tex] é a altura na qual o segundo objeto é lançado, então
[tex]h_2 = H - 80 t' - \frac{10t'^2}{2}[/tex]
[tex]h_2 = H - 80 t' - 5 t'^2[/tex]
O tempo que o segundo objeto gasta para atingir o solo (h2 = 0 m) é então
[tex]0 = H - 80 t' - 5 t'^2[/tex]
[tex]t'^2 + 16 t' - \frac{H}{5}[/tex]
As raízes serão
[tex]t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{16^2-4(-\frac{H}{5})}}{2} [/tex]
[tex]t'=\dfrac{-16\pm\sqrt{256+\frac{H}{5}}}{2}[/tex]
[tex]t'=\dfrac{-8\pm\sqrt{256+\frac{4H}{5}}}{2}[/tex]
[tex]t'=-8\pm \sqrt{64+\frac{H}{5}}[/tex]
novamente o tempo não pode ser negativo assim a solução matemática e física será
[tex]t' = -8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}}[/tex]
Como t' para os dois objetos é igual então
[tex]-8 + \sqrt{64+\dfrac{H}{5}} = -4 + \sqrt{\dfrac{H}{5}}[/tex]
[tex] \sqrt{65+\dfrac{H}{5}}=4+\dfrac{H}{5}[/tex]
[tex]64 + \dfrac{H}{5}=(4+\sqrt{\dfrac{H}{5}})^2[/tex]
[tex]64 + \dfrac{H}{5} = 16 + 8 \sqrt{\dfrac{H}{5}} + \dfrac{H}{5}[/tex]
[tex]48 = 8\sqrt{\dfrac{H}{5}} [/tex]
[tex]6 = \sqrt{\dfrac{H}{5}} [/tex]
[tex]36 = \dfrac{H}{5}[/tex]
portanto
[tex]H = 180 m[/tex]
