Msgabesidn
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Qual a soma dos 54 primeiros termos de uma PA onde a soma dos 3 primeiros é 24 e o produto destes termos é 312?

Sagot :

Niiyaidn
[tex]a_{1} + a_{2} + a_{3} = 24[/tex]
[tex]a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) = 24[/tex]
[tex]3a_{1} + 3r = 24[/tex]
[tex]3(a_{1} + r) = 24[/tex]
[tex]a_{1} + r = 24 / 3[/tex]
[tex]a_{1} + r = 8[/tex]
[tex]a_{2} = 8[/tex]

[tex]a_{1} + r = 8[/tex]
[tex]a_{1} = 8 - r[/tex]

[tex]a_{1}*a_{2}*a_{3}=312[/tex]
[tex]a_{1}*8*a_{3}=312[/tex]
[tex]a_{1}*a_{3}=312/8[/tex]
[tex]a_{1}*(a_{1} + 2r) = 39[/tex]
[tex](8 - r)(8 - r + 2r) = 39[/tex]
[tex](8 - r)(8 + r) = 39[/tex]
[tex]8^{2} - r^{2} = 39[/tex]
[tex]64 - 39 = r^{2}[/tex]
[tex]25 = r^{2}[/tex]
[tex] \sqrt{25} = r[/tex]
[tex]r =5[/tex]

[tex]a_{1} = 8 - r[/tex]
[tex]a_{1} = 8 - 5[/tex]
[tex]a_{1} = 3[/tex]
_______________________________

[tex]a_{54} = a_{1} + 53r[/tex]
[tex]a_{54} = 3 + 53*5[/tex]
[tex]a_{54} = 3 + 265[/tex]
[tex]a_{54} = 268[/tex]

[tex]S_{n} = (a_{1} + a_{n})*n/2[/tex]
[tex]S_{54} = (a_{1} + a_{54})*54/2[/tex]
[tex]S_{54} = (3 + 268)*27[/tex]
[tex]S_{54} = 271*27[/tex]
[tex]S_{54} = 7317[/tex]
FelipeQueirozidn
NOTA: Existem duas fórmulas pro cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA. São elas:
1- [tex]S_n = n.a_1 + \frac{r.n.(n-1)}{2}[/tex]
2- [tex]S_n = \frac{n.(a_1 + a_n)}{2}[/tex]
Vou usar, nessa questão, a fórmula número 1. Acho mais prática (mesmo sendo maior :P)

Pela definição de PA temos que:

[tex]a_{2}= a_{1} + r[/tex], que pode ser reescrito como [tex]a_{1}= a_{2}-r[/tex], e [tex]a_{3} = a_{2}+r[/tex].

A soma dos três primeiros termos vale, então:

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = 24[/tex]
[tex]a_2-r + a_2 + a_2+r = 24[/tex]
[tex]3.a_2 = 24[/tex]
[tex]a_2 = 8[/tex]

Agora que temos o segundo termo podemos encontrar a razão:

[tex]a_1.a_2.a_3 = 312[/tex]
[tex](a_2-r).8.(a_2+r) = 312[/tex]
[tex](8-r)(8+r) = 39[/tex]
[tex]64-r^2=39[/tex]
[tex]r^2 = 64-39 = 25[/tex]
[tex]r = \pm 5[/tex]

Agora que temos o valor de r podemos encontrar o valor do primeiro termo. Como temos dois valores possíveis pra razão teremos dois valores possíveis pro [tex]a_1[/tex] e, portanto, pra soma dos 54 termos:

I) r=5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-5[/tex]
[tex]a_1 = 3[/tex]

Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.3 + \frac{5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 162 + 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = 7317}[/tex]

II) r= -5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-(-5) = 8+5[/tex]
[tex]a_1 = 13[/tex]

Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.13 + \frac{-5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 702 - 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = -6453}[/tex]

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