Olha cara da pra fazer por sistemas, da seguinte forma:
Você tem uma matriz A cujos elementos [tex] a_{11} =a;a_{12}=b;a_{21} =c;a_{22}=d [/tex], quando você multiplica a matriz A por ela mesma, ou seja à eleva ao quadro, temos uma nova matriz B que é igual a A² e I : Os elementos de B equivalem a:
[tex] b_{11} =a^{2}+bc;b_{12}=ab+bd;b_{21} =ac+cd;b_{22}=bc+d^{2} [/tex] , dai temos um sistema de equações se igualarmos B a Matriz identidade de mesma ordem:
[tex]B= \left[\begin{array}{ccc}a^{2}+bc&ab+bd \\ac+cd&bc+d^{2}\end{array}\right] =I_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right][/tex]
[tex]=> \left \{ {{a^{2}+bc=1} \atop {ab+bd=0}} \right.=>b(a+d)=>b=0[/tex] ou [tex]a=-d=>a=+-1 [/tex][tex]\left \{ {{ac+cd=0} \atop {bc+d^{2}=1}} \right. =>c(a+d)=0=>c=0;a=-d=>d=+-1[/tex]
a partir disto temos duas matrizes A:
[tex]A= \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}a&0\\0&-a\end{array}\right];[/tex]
para a=1 temos:
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&-1\end{array}\right][/tex]
e para a=-1 temos:
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&1\end{array}\right][/tex]
nos dois casos A² é igua a matriz indentidade I. Espero ter ajudado.
