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Como resolve esse sistema ?

X + Y = 12
log2 X + log2 Y = 5 
para x < y, determine log2 x(y)

Sagot :

Korvoidn
LOGARITMOS

Sistema de Equações Logarítmicas

[tex] \left \{ {{x+y=12(I)} \atop {Log _{2}x+Log _{2}y=5(II) }} \right. [/tex]

Isolando x na equação I, podemos substitui-lo na equação II:

[tex]x=12-y(I)[/tex]

[tex]Log _{2}(12-y)+Log _{2}y=5 [/tex]

Como os logaritmos encontram-se na mesma base, podemos igualar as bases, aplicarmos a p1:

[tex]Log _{2}(12-y)*y=5 [/tex]

Aplicando a definição de Log, vem:

[tex]12y-y ^{2}=2 ^{5} [/tex]

[tex]- y^{2}+12y=32 [/tex]

[tex]-y ^{2}+12y-32=0 [/tex]

Multiplicando esta equação do 2° grau por -1, temos:

[tex]y ^{2}-12y+32=0 [/tex]

Resolvendo esta equação obtemos as raízes y'=4 e y"=8, substituindo os valores de y em função de x, vem:

1a raiz:

[tex]Log _{2}x+Log _{2}y=5 [/tex]

[tex]Log _{2}x+Log _{2}4=5 [/tex]

[tex]Log _{2}x*4=5 [/tex]

Pela definição:

[tex]4x=2 ^{5} [/tex]

[tex]4x=32[/tex]

[tex]x=8[/tex]


2a raiz:

[tex]x+y=12[/tex]

[tex]x+8=12[/tex]

[tex]x=12-8[/tex]

[tex]x=4[/tex]


Solução: x,y {(8,4,4,8)}

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