Claro que não! O que comemos? Vegetais e animais. Os vegetais necessitam do Sol para realizarem fotossíntese, e assim obtêm seu próprio alimento, e sobrevivem. Sem a luz solar, elas deixariam de fazer fotossíntese e consequentemente morreriam.
Ficamos sem as plantas. O que me diz? "Vamos comer os animais". Lembre-se que os animais que nos alimentamos são essencialmente herbívoros, por isso, se as plantas morrerem, eles também morrem.
De uma forma ou de outra, não adianta escapar. Tudo depende direta ou indiretamente do Sol, por isso, podemos ter certeza, quando ele se apagar será o fim da vida terrestre.
P.S.: Acabei fugindo da sua pergunta. Não, não haveria dia. Só há dia por causa dos raios solares que iluminam toda a superfície terrestre virada para o Sol, e se não existisse ele, tudo seria escuridão.
