Vamos lá.
Temos a PG: (a; a+3; 5a-3; 8a). Sabe-se que numa PG qualquer (a; b; c; d) b/a = c/b = d/c, porque com isso está-se informando que a razão é igual entre todos os termos.
Assim, para a nossa PG:
(a+3)/a = (5a-3)/(a+3) = 8a/(5a-3). Vamos utilizar apenas os dois últimos:
8a/(5a-3) = (5a-3)/(a+3). Multiplicando em cruz, vem:
8a(a+3) = (5a-3)(5a-3)
8a² + 24a = 25a² - 30a + 9. Passando todo o 1º membro para o 2º, vem:
25a²-8a²-30a-24a+9 = 0
17a²-54a+9=0. Resolvendo-se a equação do 2º grau, encontramos:
a1 = 3
a2 = 3/17. Como no enunciado do problema é informado que a>0, segue-se que a = 3
Se "a" é igual a 3, vamos substituir na PG:
(3; 3+3; 5*3-3; 8*3)
(3; 6; 15-3; 24)
(3; 6; 12;24)., Pronto, pela PG, tem-se que 6/3=12/6=24/12=2
Então a razão é igual a 2. OK
