LOGARITMOS
Equações Logarítmicas do produto
a) [tex]2Logx=2+Log(x-9)[/tex]
Pela condição de existência, temos que x deve ser > 0:
Vamos expor a base dos logaritmos, base 10 (porque quando a base do logaritmo é omitida, subintende-se que seja base 10):
[tex]2Log _{10}x=2+Log _{10}(x-9) [/tex]
Usando a definição de Log, onde [tex]2=Log _{10}100 [/tex], temos:
[tex]2Log _{10}x=Log _{10}100+Log _{10}(x-9) [/tex]
Aplicando a p3 (propriedade da potência), vem:
[tex]Log _{10} x^{2} =Log _{10}100+Log _{10}(x-9) [/tex]
Como as bases são iguais, podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto):
[tex] x^{2} =100(x-9)[/tex]
[tex] x^{2} =100x-900[/tex]
[tex] x^{2} -100x+900=0[/tex]
Ao resolvermos esta equação do 2° grau obtivemos as raízes x'=10 e x"=90, raízes que sem dúvida alguma satisfazem a condição de existência, portanto:
Solução: {10, 90}
b) [tex]Log(x-2)+Log(x+1)+1=4[/tex]
Expondo novamente a base dos logaritmos, vem:
[tex]Log _{10}(x-2)+Log _{10}(x+1)+Log _{10}10=4 [/tex]
Como as bases são iguais, podemos iguala-las e aplicarmos a p1:
[tex]Log _{10}(x-2)(x+1)10=4 [/tex]
Aplicando a definição de Log, temos:
[tex] 10(x^{2} -x-2)=10 ^{4} [/tex]
[tex] x^{2} -x-2=10 ^{3} [/tex]
[tex] x^{2} -x-1002=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes:
[tex]x' \left e \left x"= \frac{1 \frac{+}{} \sqrt{4009} }{2} [/tex]
Observe que somente a raiz positiva satisfaz a condição de existência.
Solução: {[tex] \frac{1+ \sqrt{4009} }{2} [/tex]}
