Vanessa198557idn
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Determine o vetor unitário ortogonal aos vetores a= (2, 6, -1) e b= (0, -2, 1)

Sagot :

Borgespereira1idn
a*u = 0 ==> (2, 6, -1)*(x, y, z) = 2x + 6y - z = 0 (I)
b*u = 0 ==> (0, -2, 1)*(x, y, z) = -2y + z = 0 (II)

pelo fato de u ser ortogonal aos vetores a e b.

e pelo fato de u ser unitário, então

√(x² + y² + z²) = 1 ==> x² + y² + z² = 1 (III)

montando um sistema com (I), (II) e (III)

2x + 6y - z = 0 (I) ==> z = 2x + 6y
0x - 2y + z = 0 (II) ==> z = 2y
x² + y² + z² = 1 (III)

comparando (I) com (II)

2x + 6y = 2y ==> 2x = -4y ==> x = -2y e substituindo esse resultado em (III), ficaremos com:

(-2y)² + y² + (2y)² = 1

4y² + y² + 4y² = 1

9y² = 1 ==> y² = 1/9 ==> y = 1/3 ou y = -1/3

substituindo esse resultado em

x = -2y = -2/3 ou x = 2/3
e 
z = 2y = 2/3 ou z = -2/3

assim, 

u = ( - 2/3, 1/3, 2/3)

ou

u = ( 2/3, -1/3, -2/3)

Resposta:

a*u = 0 ==> (2, 6, -1)*(x, y, z) = 2x + 6y - z = 0 (I)

b*u = 0 ==> (0, -2, 1)*(x, y, z) = -2y + z = 0 (II)

pelo fato de u ser ortogonal aos vetores a e b.

e pelo fato de u ser unitário, então

√(x² + y² + z²) = 1 ==> x² + y² + z² = 1 (III)

montando um sistema com (I), (II) e (III)

2x + 6y - z = 0 (I) ==> z = 2x + 6y

0x - 2y + z = 0 (II) ==> z = 2y

x² + y² + z² = 1 (III)

comparando (I) com (II)

2x + 6y = 2y ==> 2x = -4y ==> x = -2y e substituindo esse resultado em (III), ficaremos com:

(-2y)² + y² + (2y)² = 1

4y² + y² + 4y² = 1

9y² = 1 ==> y² = 1/9 ==> y = 1/3 ou y = -1/3

substituindo esse resultado em

x = -2y = -2/3 ou x = 2/3

e 

z = 2y = 2/3 ou z = -2/3

assim, 

u = ( - 2/3, 1/3, 2/3)

ou

u = ( 2/3, -1/3, -2/3)

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