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Sagot :
pow, essa é chata mas vamos lá!
integral sen^3(x)dx = integral sen^2(x)*sen(x) dx
Olhe propriedades trigonométricas, você verá que sen^2(x) = 1-cos^2(x)
substituindo temos:
integral [(1-cos^2(x)) * sen(x)] dx (multiplique como uma fração)
integral [sen(x) - cos^2(x) * sen(x)] dx
integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx (I) (separe sempre que tiver - ou + entre elas)
integral cos^2(x) * sen(x) dx (II)
Resolvendo (II) por substituição:
u = cos(x)
du = -sen(x) dx
Substituindo em (II):
- integral u² du = - u^3/3 = -cos^3(X)/3 + c
Substituindo em (I):
integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx
-cos(x) + cos^3(x)/3 + c e terminamos por aqui!
integral sen^3(x)dx = integral sen^2(x)*sen(x) dx
Olhe propriedades trigonométricas, você verá que sen^2(x) = 1-cos^2(x)
substituindo temos:
integral [(1-cos^2(x)) * sen(x)] dx (multiplique como uma fração)
integral [sen(x) - cos^2(x) * sen(x)] dx
integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx (I) (separe sempre que tiver - ou + entre elas)
integral cos^2(x) * sen(x) dx (II)
Resolvendo (II) por substituição:
u = cos(x)
du = -sen(x) dx
Substituindo em (II):
- integral u² du = - u^3/3 = -cos^3(X)/3 + c
Substituindo em (I):
integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx
-cos(x) + cos^3(x)/3 + c e terminamos por aqui!
[tex]\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=\int{\sin}^{2}(x).\sin(x)dx}\\\mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}[/tex][tex]u=\cos(x)\to-du=\sin(x)dx[/tex]
[tex] \mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}\\ = \mathsf{-\int({u}^{2}-1)du} = \mathsf{-\dfrac{1}{3} {u}^{3} + u + c }[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=-\dfrac{1}{3}{\cos}^{3}(x)+\cos(x)+c}}}[/tex]
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