Encontre respostas para todas as suas perguntas no IDNLearner.com. Faça suas perguntas e receba respostas detalhadas de nossa comunidade de especialistas, sempre prontos para oferecer ajuda em qualquer tema que você precise.

[tex]\int{sen^{3}(x)\,dx[/tex]



Sagot :

pow, essa é chata mas vamos lá!

integral sen^3(x)dx = integral sen^2(x)*sen(x) dx 

Olhe propriedades trigonométricas, você verá que
sen^2(x) = 1-cos^2(x) 
substituindo temos:

integral [(1-cos^2(x)) * sen(x)] dx (multiplique como uma fração)

integral [sen(x) - cos^2(x) * sen(x)] dx 


integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx (I) (separe sempre que tiver - ou + entre elas)

integral cos^2(x) * sen(x) dx (II) 

Resolvendo (II) por substituição: 
u = cos(x)
du = -sen(x) dx 


Substituindo em (II): 

- integral u² du = - u^3/3 = -cos^3(X)/3 + c 

Substituindo em (I): 

integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx 

-cos(x) + cos^3(x)/3 + c  e terminamos por aqui!

[tex]\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=\int{\sin}^{2}(x).\sin(x)dx}\\\mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}[/tex][tex]u=\cos(x)\to-du=\sin(x)dx[/tex]

[tex] \mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}\\ = \mathsf{-\int({u}^{2}-1)du} = \mathsf{-\dfrac{1}{3} {u}^{3} + u + c }[/tex]

[tex]\boxed{\boxed{\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=-\dfrac{1}{3}{\cos}^{3}(x)+\cos(x)+c}}}[/tex]