Vamos lá!
Como [tex]AO=OD=OB=OE=raio[/tex] e [tex]A\^OB\ e\ B\^OC[/tex] são opostos pelo vértice os [tex]\Delta AOE\ e\ \Delta BOD[/tex] são congruentes, portanto [tex]AE=lado\ do\ hexagono=BD[/tex].
Sabemos que o lado do hexágono inscrito em uma circunferência é igual ao raio da circunferência que o circunscreve - o que nos dá que o [tex]\Delta BOC[/tex] é equilátero nos mostrando também que [tex]BC[/tex] é a altura deste triângulo é mediana e bissetriz. Por ser mediana divide [tex]OD[/tex] em dois pedaços iguais, logo [tex]OC= \frac{OD}{2}= \frac{raio}{2} [/tex].
A altura de um triângulo equilátero é [tex] BC=\frac{l \sqrt{3} }{2} [/tex] como lado é igual ao raio [tex] BC=\frac{raio \sqrt{3} }{2} [/tex]
[tex] \frac{OC}{BC}= \frac{ \frac{raio}{2} }{ \frac{raio \sqrt{3} }{2} }= \frac{2raio}{2raio \sqrt{3} }= \frac{1}{\sqrt{3} }=\frac{1}{\sqrt{3} }\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} }=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
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