Do enunciado da tarefa, de acordo com as propriedades da PA e da PG, podemos escrever:
[tex]\frac{a+b}{2}=7 \\
\\
\boxed{a+b=14}[/tex]
[tex]\frac{4\sqrt3}{b}=\frac{a}{4\sqrt3} \\
\\
ab=\left( 4\sqrt{3} \right )^2 \\
\\
\boxed{ab=48}[/tex]
Neste caso os valores de a e b coincide com as raízes da equação:
[tex] x^{2} -14x+48=0 \\
\\
\Delta=(-14)^2-4.1.48=196-192=4 \\
\\
x_1=\frac{14-2}{2}=6 \\
\\
x_2=\frac{14+2}{2}=8[/tex]
Logo a PA é:
PA(6,7,8) e r = 1
[tex]\boxed{\boxed{PG(8,4\sqrt3,6) \ e \ q= \frac{\sqrt3}{2}}}[/tex]
