Antes de mais nada você precisa saber algumas propriedades de determinantes:
1ª) [tex]det(A)=det(A^t)[/tex];
2ª) [tex]det(A^{-1})= \frac{1}{det(A)}[/tex]
3ª) [tex]det(k.A_{nxn})=k^ndet(A_{nxn})[/tex]
Vamos lá!
Temos que: [tex]det(3.A^{-1})=144[/tex], sendo que
[tex]det(3.A^{-1}_{5x5})=3^5.det(A^{-1})=144[/tex] (apliquei a minha propriedade 3)
Complementando temos: [tex]3^5.det(A^{-1})=\frac{3^5}{det(A)}=144[/tex] (apliquei a minha propriedade 2)
Seguindo...
[tex]3^5=144.det(A).:\ det(A)= \frac{3^5}{144}\ (i)[/tex]
Queremos saber: [tex]det(2.A^t)[/tex]
Pela propriedade 1 e 3: [tex]det(2.A^t)=2^5det(A^t)=2^5det(A)[/tex]
Substituindo [tex](i)[/tex], temos: [tex]2^5det(A)=\frac{2^5.3^5}{144}= \frac{7776}{144}=54[/tex]
Hugs
