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Determine os possíveis valores de k, para que as retas 3x - 2y + 5 e kx + y - 6 = 0 formem entre si um ângulo de 45º.
Olá,
Antes de tudo, você precisa colocar essas expressões em termos conhecidos para poder identificar seus coeficientes (linear e angular). Como você deve saber, nesse caso, y = f(x). Passaremos o y para um lado, e todo o resto para o outro.
3x - 2y + 5
- 2y = -3x - 5 *(-1)
2y = 3x + 5
y = 3/2*x + 5/2
kx + y - 6 = 0
y = -kx + 6
Para saber o ângulo entre duas retas precisamos apenas do coeficiente angular (a, em y = ax+b). o a1 = 3/2 e o a2 = -k.
Existe uma fórmula para saber qual o ângulo entre duas retas baseado nos seus coeficientes angulares:
Tan angle = (a1-a2)/(1+a1*a2)
Tan 45 = (3/2 + k)/(1+(3/2)*-k)
Sabemos que a tangente de 45 graus é 1, logo:
1 = (3/2 + k) / (1 - 3/2*k)
After some math,
1 = (3+2k) / (2 - 3k)
3 + 2k = 2 - 3k
2k + 3k = 2 - 3
k = -1/5
Logo, para essas duas retas formarem um ângulo de 45 graus entre si, k deve valer 1/5.