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Considere uma PA de 20 termos Sabendo que a
oma dos dez primeiros termos é 30 e que a soma dos
ez últimos termos é 60, então o segundo termo dessa
A vale:​

Sagot :

Zecolidn

Resposta:

[tex]a_2=\frac{39}{20}[/tex]

Explicação passo-a-passo:

A soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:

[tex]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex]

Sendo [tex]r[/tex] a razão da PA, temos que [tex]a_{10}=a_1+9r[/tex], logo:

[tex]S_{10}=30[/tex]

[tex]\frac{(a_1+a_1+9r)\cdot 10}{2}=30[/tex]

[tex]2a_1+9r=6[/tex]

Podemos dizer que a soma dos 10 últimos termos é igual à soma de todos os termos - a soma dos 10 primeiros termos, logo:

[tex]S_{20}-S_{10}=60[/tex]

[tex]S_{20}-30=60[/tex]

[tex]S_{20}=90[/tex]

Sendo [tex]a_{20}=a_1+19r[/tex], ficamos com:

[tex]\frac{(a_1+a_1+19r)\cdot20}{2}=90[/tex]

[tex]2a_1+19r=9[/tex]

Ficamos então com o seguinte sistema:

[tex]\left\{\begin{matrix}2a_1+9r=6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.[/tex]

Multiplicando a 1º equação por -1:

[tex]\left\{\begin{matrix}-2a_1-9r=-6\\2a_1+19r=9\end{matrix}\right.[/tex]

Somando os termos de ambas as equações:

[tex]-2a_1-9r+2a_1+19r=-6+9[/tex]

[tex]10r=3[/tex]

[tex]r=\frac{3}{10}[/tex]

Sendo [tex]2a_1+9r=6[/tex]:

[tex]2a_1+9\cdot\frac{3}{10}=6[/tex]

[tex]2a_1+\frac{27}{10}=6[/tex]

[tex]2a_1=6-\frac{27}{10}[/tex]

[tex]a_1=\frac{33}{20}[/tex]

Sendo o 2º termo [tex]a_2[/tex] igual a [tex]a_1+r[/tex], concluímos que:

[tex]a_2=\frac{33}{20}+\frac{3}{10}[/tex]

[tex]a_2=\frac{39}{20}[/tex]

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