Resposta:
Letra C) 40 anos e 15 anos
Explicação passo-a-passo:
A questão apresenta um sistema de equações. Vamos considerar a idade da mãe como sendo [tex]x[/tex] e a idade do filho como [tex]y[/tex].
Primeira Afirmação: A soma da minha idade com o dobro do meu filho é igual a 70.
Aqui, podemos desenvolver a seguinte equação: Idade da Mãe + 2 vezes a idade do filho = 70. Em notação matemática:
[tex]x + 2y = 70[/tex]
Segunda Afirmação: O triplo da idade de meu filho menos a minha idade é igual a 5 anos.
[tex]3y - x = 5[/tex]
Há várias formas de resolver um sistema desses, vou apresentar duas.
Soma
Nesse caso, vamos montar o nosso sistema
[tex]\displaystyle \left \{ {{x + 2y = 70} \atop {3y - x = 5}} \right.[/tex]
Agora, temos que rearranjar a segunda fórmula para que as icógnitas fiquem "correspondentes"
[tex]\displaystyle \left \{ {{x + 2y = 70} \atop {- x + 3y = 5}} \right.[/tex]
Agora, vamos somar o sistema normalmente. Note que quando somar o [tex]x[/tex] de cima com o [tex]-x[/tex] de baixo, eles irão se anular, ficando
[tex]\displaystyle \left \{ {{5y = 75} } \right.[/tex]
Resolvendo essa equação dividindo 75 por 5, iremos descobrir que a idade do filho [tex]y[/tex] é igual à 15.
Vamos voltar em qualquer uma das equações e subtituir o [tex]y[/tex] por 15. No caso, a primeira.
[tex]x + 2(15) = 70\\x + 30 = 70\\x = 70 - 30\\x = 40[/tex]
Portando, a idade da mãe [tex]x[/tex] é igual a 40.
Substituição
Com esse sistema, podemos isolar a icógnita [tex]x[/tex] ou [tex]y[/tex], nesse caso escolherei a primeira opção
[tex]\displaystyle \left \{ {{x + 2y = 70} \atop {3y - x = 5}} \right.[/tex]
Isolando o [tex]x[/tex] da primeira equação
[tex]x + 2y = 70\\x = 70 - 2y[/tex]
Agora, com essa informação, vamos substituir o [tex]x[/tex] por [tex]70 - 2y[/tex] na segunda equação.
[tex]3y - (70 - 2y) = 5[/tex]
Repare que agora temos uma equação resolvível com apenas uma icógnita
[tex]3y - (70 - 2y) = 5\\3y - 70 + 2y = 5\\5y = 70 + 5\\5y = 75\\y = 15[/tex]
Portanto, temos a idade do filho, sendo 15 anos. Agora, substituimos essa informação na nossa definição de [tex]x[/tex], na primeira equação ou na segunda, e acharemos o [tex]y[/tex]. Eu vou substituir na definição que usamos para substituir [tex]x[/tex] na segunda equação
[tex]x = 70 - 2(15)\\x = 70 - 30\\x = 40[/tex]
Portanto, temos novamente que a idade da mãe é igual a 40, e a do filho é igual a 15.
