Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre somas infinitas.
Seja a soma:
[tex]\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+\cdots[/tex]
Observe que podemos reescrevê-la como o seguinte somatório:
[tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n-1}}{3^n}}[/tex]
Aplicando a propriedade de potências, temos que [tex]2^{n-1}=\dfrac{2^n}{2}[/tex], assim o somatório se torna:
[tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n}}{3^n\cdot 2}}\\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n}}{3^n}}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}[/tex]
Observe que esta é uma série geométrica. Estas séries da forma [tex]\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~x^n=\dfrac{x}{1-x}[/tex] apresentam esta fórmula fechada. Assim, teremos:
[tex]\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{2}{3}}}[/tex]
Some os valores no denominador
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3-2}{3}}\\\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{3}}[/tex]
Calcule a fração de frações e multiplique os valores
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{1}\\\\\\ 1~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado desta soma infinita.
