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Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre a determinação de pontos críticos de funções e derivação.
Devemos determinar os pontos críticos da função [tex]f(x)=x^2\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}}[/tex].
Lembre-se que o ponto crítico é aquela cuja a inclinação da reta tangente à curva neste ponto é igual a zero. Assim, devemos calcular a primeira derivada da função e igualá-la a zero.
Derivamos a função:
[tex](f(x))'=\left[x^2\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}}\right]'[/tex]
Lembre-se:
Aplique a regra do produto
[tex]f'(x)=[x^2]'\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot [(x-1)^{\frac{2}{3}}]'[/tex]
Aplique a regra da cadeia e da potência
[tex]f'(x)=2\cdot x^{2-1}\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot\dfrac{2}{3}\cdot [x-1]'\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}-1}[/tex]
Some os valores nos expoentes e aplique a regra da soma
[tex]f'(x)=2\cdot x^{1}\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot \dfrac{2}{3}\cdot([x]'-[1]')\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}[/tex]
Aplique a regra da potência e multiplique os termos
[tex]f'(x)=2\cdot x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+x^2\cdot\dfrac{2}{3}\cdot (1\cdot x^{1-1}-0)\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}\\\\\\ f'(x)=2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}[/tex]
Então, igualamos esta derivada a zero:
[tex]f'(x)=0\\\\\\2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}=0[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por [tex]3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}[/tex]
[tex]\left(2x\cdot (x-1)^{\frac{2}{3}}+\dfrac{2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}}}{3}\right)\cdot3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}=0\cdot3\cdot(x-1)^{\frac{1}{3}}\\\\\\ 6x\cdot(x-1)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}+2x^2\cdot(x-1)^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=0\\\\\\ 6x\cdot(x-1)+2x^2=0[/tex]
Efetue a propriedade distributiva da multiplicação
[tex]6x^2-6x+2x^2=0[/tex]
Some os termos semelhantes
[tex]8x^2-6x=0[/tex]
Fatoramos a expressão à esquerda da igualdade
[tex]2x\cdot(4x-3)=0[/tex]
Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero. Assim, temos duas soluções possíveis:
[tex]2x=0~~\bold{ou}~~4x-3=0[/tex]
Na primeira solução, divida ambos os lados da equação por [tex]2[/tex]. Na segunda solução, some [tex]3[/tex] em ambos os lados da equação e divida por [tex]4[/tex].
[tex]x=0~~\bold{ou}~~x=\dfrac{3}{4}[/tex]
Estes são os pontos críticos desta função. Observe o comportamento da função na imagem em anexo.
