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Dada as funções:
[tex]\begin{array}{l}\sf y_1=\dfrac{3^{x+3}\cdot9^x}{81^{3x-2}}\\\\\sf y_2=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\end{array}[/tex]
Devemos determinar o valor de x para que y₁ e y₂ sejam iguais.
Para isso, vamos igualar as duas funções e fazer as devidas operações com as propriedades de potências de mesma base.
[tex]\begin{array}{l}\\\sf y_1=y_2\\\\\sf\dfrac{3^{x+3}\cdot9^x}{81^{3x-2}}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\end{array}[/tex]
Vamos primeiro mexer na função y₁ :
Deixando toda potência na base 3:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf\dfrac{3^{x+3}\cdot(3^2)^x}{(3^4)^{3x-2}}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\sf\dfrac{3^{x+3}\cdot3^{2x}}{3^{12x-8}}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\end{array}[/tex]
Pela propriedade de potências de mesma base, quando há um produto, conserva a base e soma os expoentes:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf\dfrac{3^{(x+3)+(2x)}}{3^{12x-8}}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\sf\dfrac{3^{3x+3}}{3^{12x-8}}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\end{array}[/tex]
Pela propriedade de potências de mesma base, quando há uma divisão, conserva a base e subtrai os expoentes:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf3^{(3x+3)-(12x-8)}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\sf3^{3x+3-12x+8}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\sf3^{-9x+11}=\dfrac{27^{2x}}{243^{1-x}}\\\\\end{array}[/tex]
Agora vamos mexer na função y₂ :
Deixando toda potência na base 3:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf3^{-9x+11}=\dfrac{(3^3)^{2x}}{(3^5)^{1-x}}\\\\\sf3^{-9x+11}=\dfrac{3^{6x}}{3^{5-5x}}\\\\\end{array}[/tex]
Pela propriedade de potências de mesma base, quando há uma divisão, conserva a base e subtrai os expoentes:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf3^{-9x+11}=3^{6x-(5-5x)}\\\\\sf3^{-9x+11}=3^{6x-5+5x}\\\\\sf3^{-9x+11}=3^{11x-5}\\\\\end{array}[/tex]
Agora chegamos numa igualdade, em que as bases das potências são iguais. Aplicando logaritmo na base 3 em ambos membros:
[tex]\begin{array}{l}\\\sf log_3~\Big(3^{-9x+11}\Big)=log_3~\Big(3^{11x-5}\Big)\\\\\end{array}[/tex]
Podemos usar a propriedade logₐ (bᶜ) ⇔ c * logₐ (b):
[tex]\begin{array}{l}\\\sf(-9x+11)\cdot log_3~(3)=(11x-5)\cdot log_3~(3)\\\\\end{array}[/tex]
Pela propriedade logₐ (a) ⇔ 1 ( por isso apliquei na base 3 ):
[tex]\begin{array}{l}\\\sf(-9x+11)\cdot1=(11x-5)\cdot1\\\\\sf-9x+11=11x-5\\\\\sf11x-5=-9x+11\\\\\sf9x+11x-5=-9x+11+9x\\\\\sf20x-5=11\\\\\sf5+20x-5=11+5\\\\\sf20x=16\\\\\sf\dfrac{20x}{20}=\dfrac{16}{20}\\\\\sf x=\dfrac{16^{:4}}{20^{:4}}\\\\\!\boxed{\sf x=\dfrac{4}{5}}\\\\\end{array}[/tex]
Desta forma, descobrimos que, para que y₁ = y₂, x deve ser 4/5.
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