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Olá, tudo bem? Toda função quadrática do tipo geral [f(x)=ax²+bx+c] terá duas raízes reais e iguais quando seu discriminante(Δ) for igual a zero. Lembrando que Δ = b² - 4.a.c, vamos aplicar essa condição à questão e, resolvendo a equação que surgir, encontrar o valor de "k":
→OBS: Nessa questão, temos que: a = 1, b = -2 e c = k + 3
[tex]\Delta=\underbrace{b^2-4.a.c=0}\to\\\\(-2)^2 - 4\times 1\times (k+3)=0\to\\\\4-4k-12=0\to-4k=12-4\to\\\\-4k=8\,(-1)\to 4k=-8\to\boldsymbol{\boxed{k=-2}\,\,\checkmark}[/tex]
Prova Real: Aplicando o valor k = - 2 à f(x), teremos:
f(x) = x² - 2x + 1 e
Δ = (-2)²-4.1.1 → Δ = 0
Se fizermos f(x)=0, a fim de obter suas raízes:
[tex]x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4.1.1}}{2.1}\to\\\\\\x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}\to x=\dfrac{2\pm0}{2}\to\\\\\\x_{1}=x_{2}=1\Rightarrow\,\,\text{(Essas s\~ao as duas ra\'izes})[/tex]
É isso!! :)