O volume, como você colocou, tem a ver com o espaço que existe dentro de um sólido, como por exemplo um cubo. Já a área total relaciona-se com a superfície desse sólido.
Por exemplo, se quisermos descobrir quanto de água cabe em uma caixa cúbica, trabalharemos com volume.
Por outro lado, se quisermos embrulhar uma caixa cúbica e queremos saber quanto de papel precisaremos para cobri-la, calcularemos sua área total.
