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[85pts]. Uma empresa precisa fabricar embalagens
cilíndricas, com tampa, utilizando uma área
superficial fixa igual a A = 150. π [tex]dm^{2}[/tex]
Determine o raio da base (r) e a altura (h) para
que seja atingido o volume máximo que essa
embalagem cilíndrica pode conter. Encontre o
volume máximo conseguido nessa embalagem.

Obs.: Área Superficial A(r, h) = 2π. [tex]r^{2}[/tex] + 2π. r. h.

Obs.: Volume V(r, h) = π. [tex]r^{2}[/tex] . h.

Sagot :

Temos que [tex]2\pi r^2+2\pi rh=150\pi[/tex], de forma que

[tex]r^2+rh=75[/tex].

Assim,

[tex]h(r)=\frac{75-r^2}{r}[/tex].

O volume do cilindro, então, será

[tex]V(r)=\pi r^2\cdot h(r)=\pi r^2\frac{75-r^2}{r}=\pi(75r-r^3)[/tex]

Como queremos o volume máximo,

[tex]V'(r)=\pi(75-3r^2)=0\implies r^2=25\implies r=5[/tex] (pois [tex]r>0[/tex]),

e, como [tex]V''(5)=-30\pi<0[/tex], 5 é ponto de máximo.

Dessa forma, o volume máximo é

[tex]V(5)=\pi(75\cdot 5-5^3)=250\pi[/tex].

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