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Só precisamos de duas coisas :
1º Circunferência :
[tex](\text x - \text x_\text c)^2 + (\text y- \text y_\text c)^2 = \text R^2[/tex]
onde :
[tex]\text x_\text c \ , \ \text y_\text c =[/tex] coordenadas do centro
[tex]\text R =[/tex] Raio da circunferência
2º Distância do ponto à reta
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|\text{a.x}_\text o+\text{b.y}_\text o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2 }}[/tex]
onde :
[tex]\text x_\text o \ , \text y_\text o =[/tex] coordenadas do ponto
[tex]\text{a , b , c }=[/tex] coeficientes da reta de uma qualquer ( a.x + b.y + c )
Sabendo disso, podemos descobrir se uma reta/ponto é interior ou exterior à circunferência.
Seja D a distância do ponto à circunferência, temos os casos :
* D = R - Pertence à circunferência.
* D < R - Interior à circunferência.
* D > R - Exterior à circunferência.
Temos a circunferência :
[tex]\alpha : (\text x-3)^2+(\text y-2)^2 = 4[/tex]
centro [tex]\text C (\ 3\ ,2\ )[/tex] e R = 2
Obs : Se o y do centro vale 2 e o raio também vale 2, logo a circunferência é tangente ao eixo x.
e temos a reta :
[tex]\text r : \text y = 2\text x-4 \to \boxed{\text r : 2\text x - \text y - 4 }[/tex]
Fazendo a distância do centro da circunferência até a reta r e analisando se é igual, menor ou maior que o raio.
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|\text{a.x}_\text o+\text{b.y}_\text o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|2.3 + -1.2-4| }{\sqrt{3^2+(-1)^2 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|6 -2-4| }{\sqrt{9+1 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{0 }{\sqrt{10 }}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = 0[/tex]
Se a distância deu 0, quer dizer que a reta r passa no centro da circunferência, logo, r contém o diâmetro de [tex]\alpha[/tex]
Visto que a circunferência é tangente ao eixo x no ponto (3,0).
A ) Correta
B ) Correta
C ) Correta ( área = [tex]\pi.r^2 = 2^2.\pi = 4.\pi[/tex] )
D ) Comparando as distância do ponto (2,0) ao centro da circunferência e do ponto (5,4) ao centro da circunferência :
[tex](3,2) \to (2,0) \ : \sqrt{(3-2)^2+(0-2)^2 } \to \sqrt{5}[/tex]
[tex](3,2) \to (5,4) \ : \sqrt{(3-5)^2+(0-4)^2 }\to \sqrt{20} = 2\sqrt{5}[/tex]
Correta, o ponto (2,0) está mais próximo.
E) Incorreta. Substituindo os ponto (1,1) e (4,3) na equação da circunferência temos :
[tex](1-3)^2+(1-2)^2 = 4 \to 5 = 4 \ (\text {ABSURDO})[/tex]
Exterior à circunferência.
[tex](4-3)^2 + ( 3-2)^2 = 4 \to 2 = 4 \ (\text{ABSURDO})[/tex]
Interior à circunferência.
[tex]\huge\boxed{\text{GABARITO : E }}\checkmark[/tex]
