definição de logaritmos :
[tex]\text{Log}_{\ \displaystyle \text a} \ \text b =\text x \to \text b =\text a^{\text x }[/tex]
E sabemos que :
[tex]\text{Ln(k)} = \text{Log}_{\ \displaystyle \text e } \ (\text k)[/tex]
Condição de existência de um log :
[tex]\text{Log}_{\displaystyle \ \text a} \ \text b \ \to \boxed{\text b > 0} \ \text e \ \boxed{0<\text a \neq 1 }[/tex]
Temos :
[tex]\text{ln}(\text x^2-2\text x - 1) \leq 0[/tex]
1º Vamos Fazer a condição de existência de um Log :
[tex]\text x^2-2\text x - 1 >0[/tex]
[tex]\text x^2-2\text x +1 >2[/tex]
[tex](\text x-1)^2 >2[/tex]
[tex]\text x-1 >\pm \sqrt2[/tex]
[tex]1+ \sqrt2 <\text x < 1 - \sqrt{2}}[/tex]
[tex]\boxed{\text x : (\ 1+\sqrt2 \ , \ 1-\sqrt2 \ ) }[/tex]
2º Aplicando a definição de Log :
[tex]\text{ln}(\text x^2-2\text x - 1) \leq 0[/tex]
[tex]\text x^2-2\text x - 1 \leq \text e^0[/tex]
[tex]\text x^2-2\text x-1 \leq 1[/tex]
[tex]\text x^2-2\text x\leq 1+1[/tex]
[tex]\text x^2-2\text x \leq 2[/tex]
Você passar tudo pra um lado e usar bhaskara que resolve. Eu vou completar quadrados.
Somando 1 dos dois lados :
[tex]\text x^2-2\text x+1 \leq 2+1[/tex]
[tex](\text x-1)^2 \leq 3[/tex]
[tex](\text x-1) \leq \pm \sqrt{3}[/tex]
[tex]-\sqrt{3} \leq \text x-1 \leq \sqrt{3}[/tex]
Portanto, temos :
[tex]1-\sqrt{3} \leq \text x \leq 1+ \sqrt{3}}[/tex]
[tex]\boxed{\text x : [ \ 1-\sqrt{3} \ , \ 1+\sqrt3 \ ]}[/tex]
Agora vamos fazer a união dos conjuntos :
[tex]\text S : (\ 1-\sqrt2 \ , \ 1+\sqrt2 \ ) \ \text U \ [\ 1-\sqrt{3} \ , \ 1+\sqrt3 \ ][/tex]
[tex]\boxed{\ \boxed{\ \text S : [\ 1-\sqrt{3} \ , \ 1-\sqrt{2} \ ) \ \text U \ (1+\sqrt2 \ , \ 1+\sqrt{3} \ ] \ \ }} \checkmark[/tex]
Letra C
