Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.
Seja o triângulo cujos vértices são os pontos de coordenadas [tex](2,\,-1),~(4,\,-3)[/tex] e [tex](-2,\,-5)[/tex]. Devemos determinar:
a) As coordenadas de seu baricentro
Sabendo que as coordenadas [tex](x_B,~y_B)[/tex] do baricentro de um triângulo de vértices [tex](x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)[/tex] e [tex](x_2,~y_2)[/tex] são calculadas pelas fórmulas: [tex]x_B=\dfrac{x_0+x_1+x_2}{3}[/tex] e [tex]y_B=\dfrac{y_0+y_1+y_2}{3}[/tex].
Assim, teremos:
[tex]x_B=\dfrac{2+4-2}{3}\\\\\\ x_B=\dfrac{4}{3}\\\\\\ y_B=\dfrac{-1-3-5}{3}\\\\\\ y_B=-3[/tex]
As coordenadas do baricentro deste triângulo são [tex]B~\left(\dfrac{4}{3},\,-3\right)[/tex].
b) Os comprimentos das medianas deste triângulo
Sabemos que as medianas de um triângulo são os segmentos de reta que unem um vértice ao ponto médio do lado oposto a ele.
Considere que buscamos o comprimento da mediana que une o vértice de coordenadas [tex](x_0,~y_0)[/tex] ao ponto médio do lado que une os vértices [tex](x_1,~y_1)[/tex] e [tex](x_2,~y_2)[/tex]. Utilizamos as fórmulas: [tex]x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2},~y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}[/tex] e [tex]d=\sqrt{(x_0-x_M)^2+(y_0-y_M)^2}[/tex] para calcular seu comprimento.
Assim, calculemos o comprimento da mediana do lado oposto ao vértice de coordenadas [tex](2,\,-1)[/tex]:
Calculamos o ponto médio do lado que une os vértices [tex](4,\,-3)[/tex] e [tex](-2,\,-5)[/tex]
[tex]x_M=\dfrac{4-2}{2}=1\\\\\\ y_M=\dfrac{-3-5}{2}=-4[/tex]
Utilizamos a fórmula de distância:
[tex]d=\sqrt{(2-1)^2+(-1-(-4))^2}[/tex]
Some os valores e calcule as potências e o radical
[tex]d=\sqrt{1^2+3^2}\\\\\\ d =\sqrt{1+9}=\sqrt{10}~\bold{u.~c}[/tex]
Faça o mesmo para a mediana que une o vértice [tex](4,\,-3)[/tex] ao ponto médio de [tex](2,\,-1)[/tex] e [tex](-2,\,-5)[/tex]:
[tex]x_M=\dfrac{2-2}{2}=0\\\\\\ y_M=\dfrac{-1-5}{2}=-3[/tex]
Utilizamos a fórmula de distância:
[tex]d=\sqrt{(4-0)^2+(-3-(-3))^2}[/tex]
Some os valores e calcule as potências e o radical
[tex]d=\sqrt{4^2+0^2}\\\\\\ d=\sqrt{16+0}=4~\bold{u.~c}[/tex]
Por fim, repita o processo para calcular o comprimento da mediana que une o vértice [tex](-2,\,-5)[/tex] ao ponto médio do segmento que une os vértices [tex](2,\,-1)[/tex] e [tex](4,\,-3)[/tex]
[tex]x_M=\dfrac{2+4}{2}=3\\\\\\ y_M=\dfrac{-1-3}{2}=-2[/tex]
Utilizamos a fórmula de distância:
[tex]d=\sqrt{(-2-3)^2+(-5-(-2))^2}[/tex]
Some os valores e calcule as potências e o radical
[tex]d=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2}\\\\\\ d=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}~\bold{u.~c}[/tex]
Estas são as respostas para as alternativas desta questão.
