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Resposta:
6(√3 + 1)
Explicação passo-a-passo:
Para começar devemos ter em mente que os ângulos internos seguem uma P.A( como já foi dito no enunciado). Deste modo, temos que o Triângulo XYZ tem os ângulos x-r, x e x+r. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180° e que a razão da P.A é 30, temos:
x-r+x+x+r=180°
3x=180°
x=60 °
Descobrimos que os ângulos são 30°, 60° e 90°.
Já sabemos que o maior lado é a hipotenusa( é um triângulo retângulo) e que vale 12.
Aplicando o sen 30°=[tex]\frac{x}{12}[/tex] (sen=[tex]\frac{cateto oposto}{hipotenusa}[/tex])
1/2=x/12
x=6
Sabendo dois lados, aplica-se teorema de pitágoras.
[tex]12^{2}[/tex]=[tex]y^{2}[/tex]+[tex]6^{2}[/tex]
144-36=[tex]y^{2}[/tex]
y=6[tex]\sqrt{3}[/tex]
Finalmente podemos somar os lados que é o que a questão pede:
6+6[tex]\sqrt{3}[/tex]
6([tex]\sqrt{3}[/tex] + 1) (colocando o 6 em evidência).
Multiplicando 6 por 2,7, achamos 16,2.