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Sagot :
Relembrando alguns pontos de Geometria analítica .
1º Equação da reta :
[tex]\text y-\text y_o=\text m(\text x-\text x_o)[/tex]
onde :
[tex]\text x_o \ , \ \text y_o =[/tex] coordenadas por onde a reta passa
[tex]\displaystyle \text m=\text{coef. angular } \to \text m = \frac{\text y_2-\text y_1}{\text x_2-\text x_1}[/tex]
2º Retas paralelas :
Sendo duas retas paralelas entre si de coeficientes angulares [tex]\text m_1 \ \text e \ \text m_2[/tex], temos a relação :
[tex]\text m_1 =\text m_2[/tex]
3º Distância do ponto a reta :
Tendo um reta qualquer a.x + b.y + c e ponto qualquer ([tex]\text x_o,\text y_o[/tex]), temos que a distância do ponto a reta será dada por :
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o+\text b.\text y_o+\text c| }{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}[/tex]
4º Equação Reduzida da circunferência :
[tex](\text x-\text x_\text c)^2+(\text y-\text y_\text c)^2= \text R^2[/tex]
Qualquer ponto que pertence à circunferência ao ser substituído na equação terá que ser igual ao raio ao quadrado.
1 )
item a)
Achando a equação da reta AB que passa pelos pontos A (2,3) e B(4, -1) :
[tex]\displaystyle \text m = \frac{-1-3}{4-2}\to \text m = \frac{-4}{2} \to \text m = -2[/tex]
Equação da reta passando por um dos pontos :
[tex]\text{AB}: \text y - 3 = -2(\text x-2)[/tex]
[tex]\text{AB}: \text y = -2\text x +7[/tex]
Equação da reta paralela passando por (-1,3):
[tex]\text y - 3 = -2(\text x-(-1))[/tex]
[tex]\text y -3=-2\text x - 2[/tex]
Reta paralela :
[tex]\huge\text{Reta Paralela}: \boxed{{2\text x + \text y - 1 }}[/tex]
item b)
A distância do ponto P(-2,2) até a reta paralela obtida acima :
Temos a reta : 2x + y - 1
coeficientes : a = 2 , b = 1 , c = -1
Aplicando distância do ponto a reta :
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x_o+\text b.\text y_o+\text c |}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|2.(-2)+1.(2)-1| }{\sqrt{2^2+1^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|-4+2-1| }{\sqrt{5}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|-3| }{\sqrt{5}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{3 }{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt5}{\sqrt5}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\displaystyle \text D = \frac{3\sqrt5}{5}}\checkmark[/tex]
2)
Temos a circunferência :
[tex]\text x^2+\text y^2-6\text x+4\text y+12=0[/tex]
colocando na forma reduzida. Vou completar quadrados :
[tex]\text x^2 -6\text x + 9 + \text y^2 + 4\text y + 4 + 12 = 9 +4[/tex]
[tex](\text x-3)^2+(\text y+2)^2 = 13-12[/tex]
[tex](\text x-3)^2+(\text y+2)^2 = 1[/tex]
[tex]\text{Centro : ( 3 , - 2 )} \ ; \ \text{Raio = 1 }[/tex]
item a)
P(4,k) O valor de K para que o ponto P pertença à circunferência. Vamos substituir o ponto na equação da circunferência :
[tex](\text 4-3)^2+(\text k+2)^2 = 1[/tex]
[tex](\text k +2)^2 = 1-1[/tex]
[tex](\text k +2)^2 = 0 \to (\text k+2) = 0[/tex]
[tex]\huge\boxed{\text k = -2}\checkmark[/tex]
item b)
Posição relativa da reta 5x-12y -26 = 0 à circunferência.
Vamos fazer a distância do Centro da circunferência até a reta e analisar os seguintes casos :
D = R ( Reta tangente à circunferência )
D > R ( Reta é externa à circunferência )
D < R ( Reta é secante à circunferência )
Fazendo distância do centro até a reta:
Reta : 5x-12y-26
Coeficientes : a = 5 , b = -12 , c = -26
Centro da circunferência : ( 3 , - 2)
Aplicando a distância do ponto a reta :
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|\text a.\text x+\text b.\text y+\text c|}{\sqrt{\text a^2+\text b^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|5.3-12.(-2)-26|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|15+24-26|}{\sqrt{25+144}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{|13|}{\sqrt{169}}[/tex]
[tex]\displaystyle \text D = \frac{13}{13}[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle \text D = 1}[/tex]
Distância deu igual ao raio, logo
R : A reta 5x-12y-26 é Tangente à circunferência
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