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[tex]\displaystyle\int \:xe^{-\frac{x}{2}}dx[/tex]
Se trata de uma integral que pode ser resolvida pela técnica de integração por partes, vou usar essa técnica pois se você tentar integrar por substituição não irá conseguir eliminar a variável x, a técnica de integração por partes nos diz que
[tex]\displaystyle\int u\,dv=u\cdot v-\displaystyle\int v\,du[/tex]
Para isso vamos ter que escolher uma função u para derivar e uma função para integrar e encontrar v, tomando [tex]\mathbf{u=x}[/tex] e derivando em ambos os lados em relação a x chegamos a
[tex]\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dx}{dx}\Rightarrow\boxed{du=dx}[/tex]
Tomando [tex]\mathbf{dv=e^{-\frac{x}{2}}\,dx}[/tex] e integrando em ambos os lados obtemos
[tex]\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx[/tex]
[tex]\displaystyle\int e^{\alpha x}\.dx=\dfrac{1}{\alpha}\cdot e^{\alpha x}+C[/tex]
Aplicando isso então chegamos que
[tex]\displaystyle\int dv=\displaystyle\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx=\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{x}{2}}+C\Rightarrow \boxed{v=-2e^{-\frac{x}{2}}}[/tex]
Substituindo agora na nossa integral por partes temos:
[tex]\displaystyle\int \overbrace{u}^{x}\,\overbrace{dv}^{e^{-\frac{x}{2}}}=\overbrace{u}^{x}\cdot\overbrace{ v}^{-2e^{-\frac{x}{2}}}-\displaystyle\int \underbrace{v}_{{-2e^{-\frac{x}{2}}}}\,\underbrace{du}_{dx}\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-\displaystyle\int-2e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\\=\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx[/tex]
A integral [tex]\int e^{-\frac{x}{2}}\,dx[/tex] já foi calculada acima e nos dá [tex]-2e^{-\frac{x}{2}}[/tex], por fim:
[tex]\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\displaystyle\int e^{=\frac{x}{2}}dx\\\\\\\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}+2\cdot(-2e^{-\frac{x}{2}})\\[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\displaystyle\int x e^{-\frac{x}{2}}=-2x\cdot e^{-\frac{x}{2}}-4e^{-\frac{x}{2}}+C}}[/tex]