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Resposta:
[tex]\boxed{\boxed{\large{\mathbf{ sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}}}}[/tex]
Solução:
Siga a figura com os dados do enunciado
Como c>b>a, ou seja c é o maior lado do triangulo, então c é a hipotenusa
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]
Do enunciado temos que [tex]\frac{a}{b}=\frac{1}{2}[/tex], multiplique cruzado e você vai achar que [tex]b=2a[/tex], substituindo no teorema de Pitágoras:
[tex]c^2=a^2+(2a)^2\\\\\\c^2=a^2+4a^2\\\\\\c^2=5a^2\\\\\\c=\sqrt{5a^2}\\\\\\c=a\sqrt{5}[/tex]
Segue que
[tex]sen(\theta_1)=\dfrac{b}{c}[/tex]
e também
[tex]sen(\theta_2)=\dfrac{a}{c}[/tex]
a soma será
[tex]sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{c}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{b+a}{c}[/tex]
Seja [tex]b=2a[/tex] e [tex]c=a\sqrt{5}[/tex], então
[tex]sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{2a+a}{a\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\not\!{a}}{\not\!{a}\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\\\\\\Rightarrow sen(\theta_1)+sen(\theta_2)=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}[/tex]
