O comprimento, em cm, desse caminho é 18.
Explicação:
Fazendo a planificação do cone, é possível perceber que o menor caminho que se pode traçar partindo-se do ponto P da circunferência da base e contornando a superfície lateral do cone é a corda PQ (veja na figura).
Para determinar o comprimento dessa corda, precisamos da medida da geratriz (g) e do ângulo central (α).
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
g² = h² + r²
g² = (4√6)² + (2√3)²
g² = 96 + 12
g² = 108
g = √108
g = 6√3 cm
Essa geratriz corresponde ao raio do círculo que contém o arco PQ.
O comprimento do círculo que contém o arco PQ mede:
C = 2·π·r
C = 2·π·6√3
C = 12π√3 cm
Por uma regra de três simples, temos:
360° ---- 12π√3
α ---- 4π√3
α = 360° · 4π√3
12π√3
α = 360°
3
α = 120°
Aplicando a lei dos cossenos, podemos determinar o comprimento PQ.
PQ² = g² + g² - 2·g·g·cos α
PQ² = (6√3)² + (6√3)² - 2·6√3·6√3·(-1/2)
PQ² = 108 + 108 - 2·108·(-1/2)
PQ² = 216 + 108
PQ² = 324
PQ = √324
PQ = 18 cm
