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Sagot :
Olá, boa tarde.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre trigonometria.
Sabendo que [tex]\sqrt{2}\approx1,41[/tex], devemos calcular o valor de [tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)[/tex].
Primeiro, lembre-se que [tex]\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)},~\alpha\neq\pi+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}[/tex]
Fazendo [tex]\alpha=\dfrac{\pi}{4}[/tex], temos:
[tex]\tan\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}[/tex]
Sabendo que [tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}[/tex], temos:
[tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}[/tex]
Some as frações no denominador e calcule a fração de frações
[tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}[/tex]
Racionalize o denominador multiplicando a fração por um fator [tex]\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}[/tex]
[tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1[/tex]
Substituindo [tex]\sqrt{2}\approx1,41[/tex], finalmente teremos:
[tex]\tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\approx1,41-1\\\\\\ \tan\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\approx0,41~~\checkmark[/tex]
Este é o valor aproximado da tangente deste ângulo.
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