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para que valores de ''a'' as retas r: (a+3)x +4y-5+0 e s: x+ay+1=0 são paralelas?
Olá João!!
Para que duas retas sejam paralelas seus coeficientes angulares devem ser iguais.
Eu acho que a melhor forma de identificar os coeficientes angulares de uma reta é escrever a equação na forma reduzida, ou seja, com o y isolado.
r: (a+3)x +4y-5=0 vamos isolar o Y
[tex](a+3)x +4y-5=0[/tex]
[tex]4y=-(a+3)x+5[/tex]
[tex]y=\frac{-(a+3)x+5}{4}[/tex]
[tex]y=\frac{-(a+3)x}{4}+\frac{5}{4}[/tex]
Agora podemos verificar facilmente que o coeficiente angular de "r" será:
[tex]\boxed{m_{r}=\frac{-(a+3)}{4}}[/tex]
s: x+ay+1=0 vamos isolar o Y
[tex]x+ay+1=0[/tex]
[tex]ay=-x-1[/tex]
[tex]y=\frac{-x-1}{a}[/tex]
[tex]y=\frac{-x}{a}-\frac{1}{a}[/tex]
Agora podemos verificar facilmente que o coeficiente angular de "s" será:
[tex]\boxed{m_{s}=\frac{-1}{a}}[/tex]
Fazendo:
[tex]m_{r}=m_{s}[/tex]
[tex]\frac{-(a+3)}{4}=\frac{-1}{a}[/tex] multiplicando tudo por ( - 1)
[tex]\frac{(a+3)}{4}=\frac{1}{a}[/tex] multiplicando em "cruz"
[tex]a(a+3)=4.1[/tex]
[tex]a^2+3a-4=0[/tex]
resolvendo por soma e produto temos :
[tex]a_{1}=-4[/tex]
[tex]a_{2}=1[/tex]
RESPOSTA: Para que as retas "r" e "s" sejam paralelas devemos ter:
[tex]\boxed{a_{1}=-4}[/tex]
[tex]\boxed{a_{2}=1}[/tex]
UFA!!! espero que entenda!!!