Resposta:
Solução:
Sendo [tex]\sf \textstyle \log\:2 = x[/tex] e [tex]\sf \textstyle \log \: 3 = y[/tex]. Calcule:
c)
[tex]\sf \displaystyle \log_2 500[/tex]
Primeira mente devemos fazer a mudança de base, o enunciado [tex]\sf \textstyle \log\:2 = x[/tex] está na base 10 e [tex]\sf \textstyle \log_2 500[/tex] está na base 2.
Mudança de base:
[tex]\boxed{ \sf \displaystyle \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} }[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_2 500 = \dfrac{\log 500}{\log2} = \dfrac{ \log(5 \cdot 10^2)}{\log 2} = \dfrac{ \log 5 \cdot \log 10^2}{\log 2} = \dfrac{\log 5 \cdot 2 \cdot \log 10}{ \log 2}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_2 500 = \dfrac {\log 5 \cdot 2 \cdot 1}{ \log 2} = \dfrac {2 \cdot \log 5 }{ \log 2} = \dfrac{2 \cdot \log \left( \frac{10}{2} \right)}{\log2}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_2 500 = \dfrac{2 \cdot \left( \log 10 - \log2 \right)}{\log2} = \dfrac{2 \cdot (1 - \log2)}{\log2}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_2 500 = \dfrac{2\cdot (1 - x)}{x}[/tex]
[tex]\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle \log_2 500 = \dfrac{2 -2x}{x} }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }[/tex]
d)
[tex]\sf \displaystyle \log_3 540[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_3 540 = \dfrac{\log 540}{\log3} = \dfrac{ \log (2^2 \cdot 3^2 \cdot 3)}{\log 3} = \dfrac{ \log 2^2 \cdot \log 3^2 \cdot\log 5}{\log 3}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_3 540 = \dfrac{\log 2^2 \cdot \log 3^2 \cdot \log 5}{\log 3} = \dfrac{2 \cdot log2 \cdot 2 \cdot \log 3 \cdot \log \left(\frac{10}{2} \right)}{\log 3}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_3 540 = \dfrac{ 4x\diagup\!\!\!{ y }\cdot (\log 10 - \log2) }{\diagup\!\!\!{ y}} = 4x \cdot (1 - y)[/tex]
[tex]\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle \log_3 540 = 4x - 4xy }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }[/tex]
e)
[tex]\sf \displaystyle \log_2 72 = \dfrac{\log 72}{ \log 2} = \dfrac{\log (2^3 \cdot 3^2)}{\log 2} = \dfrac{\log 2^3 \cdot \log 3^2}{\log 2}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_2 72 = \dfrac{3 \cdot \log 2 \cdot 2 \log 3}{ \log 2} = \dfrac{3 \cdot x \cdot 2 \diagup\!\!\!{ y}}{\diagup\!\!\!{ y}}[/tex]
[tex]\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle \log_2 72 = 6x }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }[/tex]
f)
[tex]\sf \displaystyle \log_{18}\: 45 = \dfrac{\log 45}{\log 18} = \dfrac{\log (3^2 \cdot 5)}{\log(2 \cdot 3^2)} = \dfrac{\log 3^2 \cdot \log5}{ \log 2 \cdot \log3^2 }[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_{18}\: 45 = \dfrac{2 \cdot \log 3 \cdot \log \left( \frac{10}{2} \right)}{\log2 \cdot 2 \cdot \log3} = \dfrac{2 \cdot y \cdot ( \log 10 -\log 2)}{x \cdot 2 \cdot y}[/tex]
[tex]\sf \displaystyle \log_{18}\: 45 = \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 2} \cdot \diagup\!\!\!{ y }\cdot( 1 -x )}{ x \cdot \diagup\!\!\!{ 2 } \cdot \diagup\!\!\!{ y}}[/tex]
[tex]\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \sf \displaystyle \log_{18} 45 = \dfrac{1 -x}{x} }}} \quad \gets \mathbf{ Resposta }[/tex]
Explicação passo-a-passo:
