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Resposta:
A alternativa correta é a letra d.
Explicação passo-a-passo:
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A área total de um cilindro é dada pela soma das áreas de suas duas bases com a sua área lateral, ou seja,
[tex]A_{total}=2\;.\;A_{base}+A_{lateral}\\\\A_{total}=2\;.\;\pi\;.\;r^2+2\;.\;\pi\;.\;r\;.\;h[/tex]
Isolando h, temos
[tex]A_{total}=2\;.\;\pi\;.\;r\;.\;(r+h)\\\\\\r+h=\dfrac{A_{total}}{2\;.\;\pi\;.\;r}\\\\\\h=\dfrac{A_{total}}{2\;.\;\pi\;.\;r}-r[/tex]
Do enunciado, temos que
[tex]A_{total}=53\;cm^2\\\\D=12\;mm=1{,}2\;cm\\\\r=\dfrac{D}{2}=\dfrac{1{,}2}{2}=0{,}6\;cm[/tex]
Portanto,
[tex]h=\dfrac{53}{2\;.\;\pi\;.\;0{,}6}-0{,}6\\\\\\h=\dfrac{53}{1{,}2\;.\;\pi}-0{,}6\\\\\\h=\dfrac{53}{3{,}77}-0{,}6\\\\\\h=14{,}06-0{,}6\\\\\\\boxed{h=13{,}46\;cm \approx 13\;cm} \quad \rightarrow \quad \mathbf{letra\;d}[/tex]