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Temos a seguinte equação:
[tex] \log_{2}x + \log_{2}x {}^{2} + \log_{2}x {}^{3} + \cdots + \log_{2}x {}^{100} = 15150 \\ [/tex]
Podemos dizer que isso é uma P.A, pois possui a mesma razão de um termo para outro dessa sequência. Para provar isso, basta fazermos o cálculo da razão, que é dado pela subtração do termo pelo seu antecessor imediato, então:
[tex]r = \log_{2}x {}^{2} - \log_{2}x[/tex]
Pela propriedade da subtração de log, temos:
[tex]r = \log_{2} \left( \frac{x {}^{2} }{x} \right) \: \to \: r = \log_{2}x \\ [/tex]
Portanto sabemos da razão. Para descobrirmos o valor de "x", vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma P.A, dada por:
[tex]S_n =\frac{( a_1 + a_n).n}{2} \\ [/tex]
Sabemos que Sn é igual a 15150, n é a quantidade de termos. Se olharmos pra sequência, podemos ver que começa com a potência 1 e termina em 100, ou seja, possui 100 termos. O que falta agora é o An, onde devemos calcular o termo A100, utilizando o termo geral:
[tex]A_n = a_1 + (n-1).r \\ A_{100} = \log_{2}x + (100-1).( \log_{2}x) \\ A_{100} = \log_{2}x + 99 \log_{2}x \\ A_{100} = 100 \log_{2}x[/tex]
Agora podemos substituir todos os dados na relação da soma da PA:
[tex]15150 = \frac{100.( \log_{2}x + 100. \log_{2}x)}{2} \\ \\ 2.(15150) =100.( 101 \log_{2}x) \\ \\ 303 = 101 \log_{2}x \\ \\ \log_{2}x = \frac{303}{101} \\ \\ \log_{2}x = 3[/tex]
Agora é só aplicar a definição de logarítmo:
[tex]2 {}^{3} = x \: \to \: \boxed{ x = 8}[/tex]
Espero ter ajudado