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Resposta: [tex]\displaystyle\int_\gamma x^2\,dx+xy\,dy=\dfrac{16}{3}.[/tex]
Explicação passo a passo:
Calcular a integral de linha do campo vetorial no [tex]\mathbb{R}^2:[/tex]
[tex]\begin{array}{ccll}\mathbf{F}:&\mathbb{R}^2&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\ &(x,\,y)&\!\!\mapsto\!\!&\mathbf{F}(x,\,y)=(x^2)\mathbf{i}+(xy)\mathbf{j}=\langle x^2,\,xy \rangle \end{array}[/tex]
ao longo da curva [tex]\gamma[/tex] parametrizada conforme abaixo:
[tex]\begin{array}{ccll}\gamma:&[0,\,2]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\ &t&\!\!\mapsto\!\!&\gamma(t)=(t,\,t) \end{array}[/tex]
Obs.: a imagem de [tex]\gamma[/tex] é um segmento de reta que liga os pontos [tex](0,\,0)[/tex] a [tex](2,\,2).[/tex] Esta é apenas uma parametrização possível para este segmento de reta.
Encontrando o vetor tangente [tex]\gamma'(t)[/tex]
[tex]\gamma'(t)=\frac{d}{dt}(t,\,t)=\langle 1,\,1 \rangle[/tex]
com [tex]t\in[0,\,2].[/tex]
Reescrevendo a integral de linha de [tex]\mathbf{F}[/tex] ao longo de [tex]\gamma[/tex] em termos do parâmetro [tex]t,[/tex] temos
[tex]\displaystyle\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\\\\\\ =\int_0^2 \mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 \mathbf{F}(t,\,t)\cdot \langle 1,\,1\rangle\,dt[/tex]
Substituindo as coordenadas de [tex]\gamma(t)=(t,\,t)[/tex] na lei do campo vetorial [tex]\mathbf{F},[/tex] temos
[tex]\mathbf{F}(t,\,t)=\big\langle (t)^2,\,(t)(t)\big\rangle=\langle t^2,\,t^2 \rangle[/tex]
Então, a integral fica
[tex]\displaystyle=\int_0^2 \langle t^2,\,t^2 \rangle \cdot \langle 1,\,1 \rangle\,dt[/tex]
Desenvolvendo o produto escalar,
[tex]\displaystyle=\int_0^2 (t^2\cdot 1+t^2\cdot 1)\,dt\\\\\\ =\int_0^2 2t^2\,dt\\\\\\ =\left.\left(\frac{2t^3}{3}\right)\right|_0^2[/tex]
[tex]=\left(\dfrac{2\cdot 2^3}{3}\right)-\left(\dfrac{2\cdot 0^3}{3}\right)\\\\\\ =\dfrac{2\cdot 8}{3}-0\\\\\\ =\dfrac{16}{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}[/tex]
Bons estudos!