Limite Tem como objetivo mostrar comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. No caso desse limite "h" tende a 0, em ambos os limites, a resolução é bem simples, acompanhe Cálculo Abaixo, vou cálcular o 1° limite e depois o 2°
1) [tex] \Large\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4} - 1}{h} }} [/tex]
Substituindo "h" por zero:
[tex]~[/tex]
[tex] \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4} - 1}{h} \\\\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + 0) }^{4} - 1}{0} \\\\\Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{1-1}{0} \\\\\Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{0}{0} [/tex]
[tex]~[/tex]
Limite deu uma Indeterminação Matemática do tipo 0/0, vamos fazer algumas manipulações Álgebricas e fazer esse resultado sumir. Em um limite quando temos Indeterminaçoes do tipo 0/0, podemos aplicar a famosa Regra de L'hospital que consiste em Derivar Numerador e Denominador. Nesse caso vamos aplicar as seguintes Regras da derivação:
[tex] \Large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf f(x) = c\Rightarrow f'(x) = 0 \\ \sf f(x) = x\Rightarrow f'(x) = 1 \\ \: \end{array}} \: \\ \: \end{array}} [/tex]
Aplicamos essas regras da derivação e Resolvemos o limite, Veja:
[tex]~[/tex]
[tex] \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{( \frac{d}{dh} [1 + h]) }^{4} - \frac{d}{dh} [ 1]}{ \frac{d}{dh} [ h] } \\ \\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{4(1 + h) }^{3} }{1} \\ \\ \sf substitui\: h \: por \: \bf{zero} \\ \\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{4(1 + 0) }^{3} }{1} \\ \\ \Large \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{4 }{1} \\ \\\Large \sf\underset{h\to0}{lim} 4 [/tex]
[tex]~[/tex]
[tex] \Huge \boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(1 + h) }^{4} - 1}{h} = 4 }} [/tex]
[tex]~[/tex]
[tex] \Large\sf \: —————– LATEX ———–———– [/tex]
[tex]~[/tex]
2) [tex] \Large\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1} - {3}^{-1} }{h} }} [/tex]
Substituindo "h" por zero:
[tex]~[/tex]
[tex] \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1} - {3}^{-1} }{h} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + 0) }^{-1} - {3}^{-1} }{0} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{3 }^{-1} - {3}^{-1} }{0} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} }{0} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{0}{0} [/tex]
[tex]~[/tex]
Ali acima na parte do 3^-1, ele virou uma Fração, isso é uma propriedade da Potênciação em que, quando temos uma potência com Expoente Negativo, convertermos e uma Fração e o Númerador vai ser 1, isso pode ser expresso na seguinte Propriedade:
[tex] \:\:\: \Large \boxed{\boxed{\tt {a}^{-n} = \dfrac{1}{{a}^{n}}}} [/tex]
Voltando, como vimos o limite deu uma Indeterminação Matemática do tipo 0/0, vamos fazer algumas manipulações Álgebricas e fazer esse resultado sumir. Em um limite quando temos Indeterminaçoes do tipo 0/0, podemos aplicar a famosa Regra de L'hospital que consiste em Derivar Numerador e Denominador. Nesse caso vamos aplicar as seguintes Regras da derivação:
[tex] \Large \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \boxed{ \begin{array}{lr} \\ \sf f(x) = c\Rightarrow f'(x) = 0 \\ \sf f(x) = x\Rightarrow f'(x) = 1 \\ \: \end{array}} \: \\ \: \end{array}} [/tex]
As mesmas que usamos na resolução do limite anterior, aplicamos essa regras e resolvemos o Limite:
[tex] \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ \frac{d}{dh}[ (3 + h)] }^{-1} - \frac{d}{dh}[{3}^{-1} ]}{\frac{d}{dh}[h]} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ - (3 + h) }^{-2} - 0 }{1} \\ \\ \sf substitui \: h \: por \: \bf{zero} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ - (3 + 0) }^{-2} - 0 }{1} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{ - 3}^{-2} }{1} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{ \dfrac{1}{ { - 3}^{2} } }{1} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{ - \dfrac{1}{ 9} }{1} \\ \\ \Large\sf\underset{h\to0}{lim} - \dfrac{1}{9} [/tex]
[tex]\Huge\boxed{ \boxed{ \sf\underset{h\to0}{lim} \dfrac{{(3 + h) }^{-1} - {3}^{-1} }{h} = \dfrac{1}{9} }}[/tex]
[tex] \Large\sf \: —————– LATEX ———–———– [/tex]
[tex] \Large\sf \: —————– LATEX ———–———– [/tex]
[tex]\Huge \boxed{ \boxed{ \mathbb{M}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}[/tex]
