Sejam [tex]\text{a}, \text{b}[/tex] e [tex]\text{c}[/tex] os valores destas partes.
Temos que:
[tex]\dfrac{\text{a}}{\frac{1}{8}}=\dfrac{\text{b}}{\frac{1}{10}}=\dfrac{\text{c}}{\frac{1}{12}}[/tex]
Logo:
[tex]8\text{a}=10\text{b}=12\text{c}[/tex]
Simplificando por [tex]2[/tex]:
[tex]4\text{a}=5\text{b}=6\text{c}[/tex]
Depois disso, isolamos [tex]\text{b}[/tex] e [tex]\text{c}[/tex]:
[tex]\text{b}=\dfrac{4\text{a}}{5}~~~(\text{i})[/tex]
[tex]\text{c}=\dfrac{4\text{a}}{6}=\dfrac{2\text{a}}{3}~~~(\text{ii})[/tex]
Segundo o enunciado:
[tex]\text{a}+\text{b}+\text{c}=370~~~(\text{iii})[/tex]
Subsituindo [tex](\text{i})[/tex] e [tex](\text{ii})[/tex] em [tex](\text{iii})[/tex]:
[tex]\text{a}+\dfrac{4\text{a}}{5}+\dfrac{2\text{a}}{3}=370[/tex]
[tex]15\text{a}+12\text{a}+10\text{a}=5~550[/tex]
[tex]\text{a}=\dfrac{5~550}{32}=150[/tex]
Desta maneira, podemos afirmar que:
[tex]\text{b}=\dfrac{4\cdot150}{5}=120[/tex]
[tex]\text{c}=\dfrac{2\cdot150}{3}=100[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que, as três partes procuradas são [tex]150, 120[/tex] e [tex]100[/tex].
