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A distância entre os pontos é dada por:
d_BC = √[(3 +2b)²+(1-b)²] e d_BC = √(5)
⇒ √(5) = √[(3 +2b)²+(1-b)²]
⇒ [√(5)]² = {√[(3 +2b)²+(1-b)²]}²
⇒ 5 = (3 +2b)²+(1-b)²
⇒ 5 = 9 +12b +4b² +1 -2b +b²
⇒ 9 +12b +4b² +1 -2b +b² = 5
⇒ 5b² +10b +10 = 5
⇒ 5b² +10b +10 -5 = 0
⇒ 5b² +10b +5 = 0
Calculando o discriminante:
∆ = 100 - 4(5)(5) = 100 - 100 = 0
⇒ b = (-10 ± 0 )/10 = -1
Daí, as coordenadas do ponto B são, 2 e -1, ou seja, B(2, -1), :-)
A distância entre dois pontos [tex]\text{x}_{\text{A}}, \text{y}_{\text{B}}[/tex] é dada por:
[tex]\text{d}_{\text{AB}}=\sqrt{(\text{x}_{\text{B}}-\text{x}_{\text{A}})^2+(\text{y}_{\text{B}}-\text{y}_{\text{A}})^2}[/tex]
Desse modo, se a distância entre os pontos [tex]\text{B}(-2\text{b}, \text{b})[/tex] e [tex]\text{C}(3,1)[/tex] é igual a [tex]\sqrt{5}[/tex], segue que:
[tex]\text{d}_{\text{BC}}=\sqrt{(3+2\text{b})^2+(1-\text{b})^2}=\sqrt{5}[/tex]
Elevando ambos os membros ao quadrado:
[tex](3+2\text{b})^2+(1-\text{b})^2=5[/tex]
[tex]9+12\text{b}+4\text{b}^2+1-2\text{b}+\text{b}^2=5[/tex]
[tex]5\text{b}^2+10\text{b}+5=0[/tex]
[tex]\text{b}=\dfrac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5}=\dfrac{-10\pm0}{10}[/tex]
Logo:
[tex]\text{b}'=\text{b}"=\dfrac{-10+0}{10}=-1[/tex]
Logo, as coordenadas do ponto B são [tex](2, -1)[/tex].