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Sagot :
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____________
• 1º objeto:
• altura inicial: [tex]\mathsf{H_0=H;}[/tex]
• velocidade inicial: [tex]\mathsf{v_0=0}[/tex] (parte do repouso);
• aceleração: [tex]\mathsf{a=-g=-10~m/s^2;}[/tex]
• instante inicial: [tex]\mathsf{t_0 = 0}[/tex] (instante em que o 1º objeto é solto).
Equação horária da posição (altura) do 1º objeto:
[tex]\mathsf{H_1(t)=H_0+v_0 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H+0t+\dfrac{1}{2}\cdot (-10)t^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H-5t^2}[/tex]
• 2º objeto:
• altura inicial: [tex]\mathsf{H_0=H;}[/tex]
• velocidade inicial: [tex]\mathsf{v_0=-80~m/s}[/tex]
• aceleração: [tex]\mathsf{a=-g=-10~m/s^2.}[/tex]
Equação horária da posição (altura) do 2º objeto:
[tex]\mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H_0+v_0(t-4)+\dfrac{1}{2}\,a(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H-80(t-4)-5(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.[/tex]
Tivemos que usar [tex]\mathsf{(t-4)}[/tex] na equação horária acima pois [tex]\mathsf{t}[/tex] é a variável que indica quanto tempo se passou após o 1º objeto ser solto, sendo que o 2º foi solto 4 segundos depois.
__________
Como ambos os objetos atingem o solo ao mesmo tempo, vamos encontrar o instante em que isso ocorre:
[tex]\mathsf{H_1(t)=H_2(t)}\qquad\quad\textsf{para }\mathsf{t\ge 4}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! H-5t^2=\diagup\!\!\!\! H-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2=-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t-4)^2=0}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t^2-8t+16)=0}\\\\ \mathsf{-\diagup\!\!\!\!\! 5t^2+80t-320+\diagup\!\!\!\!\! 5t^2-40t+80=0}[/tex]
[tex]\mathsf{80t-320-40t+80=0}\\\\ \mathsf{40t-240=0}\\\\ \mathsf{40t=240}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{240}{40}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{t=6~s} \end{array}}[/tex]
Este é o instante em que os dois objetos chegam ao solo, contando após o 1º objeto ser solto.
__________
Usaremos o fato de que
[tex]\mathsf{H_1(6)=H_2(6)=0}[/tex]
para calcular a altura inicial. Vamos usar a equação horária do 1º objeto:
[tex]\mathsf{H_1(6)=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 36}\\\\ \mathsf{H=5\cdot 36}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{H=180~m} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}[/tex]
A altura inicial H era de 180 metros.
Bons estudos! :-)
Tags: queda livre lançamento vertical altura tempo gravidade movimento acelerado cinemática
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• 1º objeto:
• altura inicial: [tex]\mathsf{H_0=H;}[/tex]
• velocidade inicial: [tex]\mathsf{v_0=0}[/tex] (parte do repouso);
• aceleração: [tex]\mathsf{a=-g=-10~m/s^2;}[/tex]
• instante inicial: [tex]\mathsf{t_0 = 0}[/tex] (instante em que o 1º objeto é solto).
Equação horária da posição (altura) do 1º objeto:
[tex]\mathsf{H_1(t)=H_0+v_0 t+\dfrac{1}{2}\,at^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H+0t+\dfrac{1}{2}\cdot (-10)t^2}\\\\\\ \mathsf{H_1(t)=H-5t^2}[/tex]
• 2º objeto:
• altura inicial: [tex]\mathsf{H_0=H;}[/tex]
• velocidade inicial: [tex]\mathsf{v_0=-80~m/s}[/tex]
• aceleração: [tex]\mathsf{a=-g=-10~m/s^2.}[/tex]
Equação horária da posição (altura) do 2º objeto:
[tex]\mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H_0+v_0(t-4)+\dfrac{1}{2}\,a(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.\\\\\\\\ \mathsf{H_2(t)=}\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{H,}&\textsf{ se }\mathsf{0\le t<4}\\\\ \mathsf{H-80(t-4)-5(t-4)^2,}&\textsf{ se }\mathsf{t\ge 4} \end{array}\right.[/tex]
Tivemos que usar [tex]\mathsf{(t-4)}[/tex] na equação horária acima pois [tex]\mathsf{t}[/tex] é a variável que indica quanto tempo se passou após o 1º objeto ser solto, sendo que o 2º foi solto 4 segundos depois.
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Como ambos os objetos atingem o solo ao mesmo tempo, vamos encontrar o instante em que isso ocorre:
[tex]\mathsf{H_1(t)=H_2(t)}\qquad\quad\textsf{para }\mathsf{t\ge 4}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! H-5t^2=\diagup\!\!\!\! H-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2=-80(t-4)-5(t-4)^2}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t-4)^2=0}\\\\ \mathsf{-5t^2+80(t-4)+5(t^2-8t+16)=0}\\\\ \mathsf{-\diagup\!\!\!\!\! 5t^2+80t-320+\diagup\!\!\!\!\! 5t^2-40t+80=0}[/tex]
[tex]\mathsf{80t-320-40t+80=0}\\\\ \mathsf{40t-240=0}\\\\ \mathsf{40t=240}\\\\ \mathsf{t=\dfrac{240}{40}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{t=6~s} \end{array}}[/tex]
Este é o instante em que os dois objetos chegam ao solo, contando após o 1º objeto ser solto.
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Usaremos o fato de que
[tex]\mathsf{H_1(6)=H_2(6)=0}[/tex]
para calcular a altura inicial. Vamos usar a equação horária do 1º objeto:
[tex]\mathsf{H_1(6)=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 6^2}\\\\ \mathsf{0=H-5\cdot 36}\\\\ \mathsf{H=5\cdot 36}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{H=180~m} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}[/tex]
A altura inicial H era de 180 metros.
Bons estudos! :-)
Tags: queda livre lançamento vertical altura tempo gravidade movimento acelerado cinemática
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