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⠀⠀☞ Uma das expressões equivalentes é 1 + x/(x² - x + 1). ✅
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \dfrac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^3 + 1}$}}[/tex]
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➡️⠀Inicialmente podemos separar nossa fração em uma soma de frações:
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[tex]\large\blue{\text{$\sf = \dfrac{x^3}{x^3 + 1} + \dfrac{x^2}{x^3 + 1} + \dfrac{x}{x^3 + 1} + \dfrac{1}{x^3 + 1}$}}[/tex]
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[tex]\large\blue{\text{$\sf = \dfrac{x^3 + 1}{x^3 + 1} + \dfrac{x^2 + x}{x^3 + 1}$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + \dfrac{x^2 + x}{x^3 + 1}$}}[/tex]
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➡️⠀Podemos agora colocar o termo x em evidência:
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + x \cdot \dfrac{x + 1}{x^3 + 1}$}}[/tex]
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➡️⠀Vejamos, através de uma divisão de polinômios, se conseguimos reescrever o polinômio maior (x³ + 1) como um produto do polinômio menor (x + 1) por outro polinômio para assim simplificar a fração:
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[tex]\blue{\left[\begin{array}{cccr|ccc}\sf x^3&&&+1&&\sf x&+1\\&&&&&&\\\sf -x^3&\sf -x^2&&&\green{\boxed{\blue{\sf x^2}}}&\\&&&&&&\\0&\sf -x^2&&+1&&&\\&&&&&&\\&\sf +x^2&\sf +x&&&\green{\boxed{\blue{\sf -x}}}&\\&&&&&&\\&0&\sf +x&+1&&&\\&&&&&&\\&&\sf -x&-1&&&\green{\boxed{\blue{\sf 1}}}\\&&&&&&\\&&0&0&&&\\\end{array}\right]}[/tex]
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➡️⠀Podemos portanto reescrever e simplificar nossa fração:
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + x \cdot \dfrac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x^2 - x + 1)}$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + x \cdot \left(\dfrac{x + 1}{x + 1}\right) \cdot \dfrac{1}{x^2 - x + 1}$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + x \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{x^2 - x + 1}$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf = 1 + \dfrac{x}{x^2 - x + 1}$}}[/tex]
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[tex]\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{\dfrac{x^3 + x^2 + x + 1}{x^3 + 1}}~\pink{=}~\blue{ 1 + \dfrac{x}{x^2 - x + 1} }~~~}}[/tex] ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
⠀⠀☀️ Leia mais sobre divisão de polinômios:
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✈ https://brainly.com.br/tarefa/37109819
✈ https://brainly.com.br/tarefa/38407686
[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}[/tex]✍
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
[tex]\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX[/tex]✍
❄☃ [tex]\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})[/tex] ☘☀
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[tex]\Huge\green{\text{$\underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~}$}}[/tex] ✞
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