Apesar de essa situação ser bastante casual, podemos perceber que há um pequeno erro na terceira fala da conversa: 1/3 não é igual a 0,3333.
O correto é dizermos que 1/3 é aproximadamente 0,3333.
No entanto 1/3=0,3333333333...
Ou seja: 1/3 é um número formado por um zero seguido de infinitos 3 na parte decimal!
Observemos que o bolo foi dividido em três partes iguais, representado pela fração 1/3. Se somarmos as três fatias, temos: 1/3+1/3+1/3=3/3=1.
Ou seja: quanto a fração, não há erro algum! O resultado dá 1.
O aparente problema surge quando multiplicamos 3.0,333=0,999...
O resultado de 3.0,333 tem que ser igual a 1, mas aparentemente dá 0,9999.
O erro está em desprezarmos as casas decimais contidas na reticência, que, aliás é uma dízima periódica!
Assim, chamando de x o valor de 0,999... temos:
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Ou seja: se na multiplicação 3.0,333=0,999... não desprezarmos o valor das casas decimais de 0,999... este valor se aproxima cada vez mais de 1 (na matemática dizemos que ele “tende” a 1).
Uma outra maneira de percebermos isso é notarmos que:
0,999...=0,9+0,09+0,009+0,0009+0,00009+... (I)
Observe que o segundo membro da igualdade (I) formam uma soma infinita:
Os termos desta soma formam uma Progressão Geométrica (P.G) decrescente, pois cada termo desta sequência é igual ao anterior multiplicado por 0,1.
Assim, temos a PG infinita:
(0,9; 0,09; 0,009; 0,0009; 0,00009; ...) (II)
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Como a igualdade (I) é a soma (S) dos infinitos termos da PG (II), podemos calcular o valor dessa soma pela fórmula:
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Mais uma vez percebemos que o valor 0,999... tende a 1.
Portanto, o resto do bolo não ficou na faca!
Ficou na aproximação dada pelo indagador e aceita pelo segundo falante!
