Explicação passo a passo:
Sabendo que [tex]\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] e que [tex]\frac{\pi}{2}<x<\pi[/tex], então [tex]x[/tex] se encontra no segundo quadrante.
Pela relação fundamental da trigonometria, temos:
[tex]\sin^2x + \cos^2x=1[/tex]
Substituindo, teremos:
[tex]\sin^2x + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2=1\\\\\sin^2x + \frac{3}{9}=1\\\\\sin^2x + \frac{1}{3}=1\\\\\sin^2x=\frac{2}{3}\\\\\sin x=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
Como [tex]x[/tex] está no segundo quadrante: [tex]\sin x = \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex].
Agora que sabemos [tex]\cos x[/tex] e [tex]\sin x[/tex], basta calcular [tex]\tan x[/tex]:
[tex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\\\\\tan x = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\\tan x = \frac{\sqrt{6}}{3}\cdot (-\frac{3}{\sqrt{3}})\\\\\tan x = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\\\\tan x = -\frac{\sqrt{18}}{3}\\\\\tan x = -\frac{3\sqrt{2}}{3}\\\\\tan x = -\sqrt{2}[/tex]
